Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^x sin (y z) i+z e^x cos (y z) j+y e^x cos (y z) k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y,z)=e^xsin(yz), i + z e^xcos(yz), j + y e^xcos(yz), k é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f= F. Vamos usar o critério do rotacional e, depois, integrar componentes para achar f.

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo, calculamos o rotacional nablatimes F. Se ele for o vetor zero, em um domínio simplesmente conectado teremos um campo conservativo.
Calculando cada componente do rotacional:
(nablatimes F)1=partialpartial y(y e^xcos(yz)) - partialpartial z(z e^xcos(yz))
Ambos dão
e^xcos(yz) - yz e^xsin(yz)
subtraindo-se, anula-se. De modo análogo, as outras duas componentes também se anulam, mostrando que nablatimes F=0.

Passo 3

Para achar a função potencial, integramos a primeira componente em relação a x:
f(x,y,z)=integral e^xsin(yz),dx = e^xsin(yz) + h(y,z)
Derivando em y:
fy= e^xcos(yz),z + hy(y,z) stackrel!= z e^xcos(yz),
logo hy=0, ou seja, h(y,z)=u(z).
Derivando em z:
fz= e^xcos(yz),y + u'(z) stackrel!= y e^xcos(yz),
logo u'(z)=0 e u é constante.

Passo 4

Conclui-se que uma função potencial é
f(x,y,z)=e^xsin(yz)+C

Resposta

f(x,y,z)=e^x\sin(yz)+C

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