Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério do rotacional e, depois, integrar componentes para achar
.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo, calculamos o rotacional
. Se ele for o vetor zero, em um domínio simplesmente conectado teremos um campo conservativo.
Calculando cada componente do rotacional:
Calculando cada componente do rotacional:
Ambos dão
subtraindo-se, anula-se. De modo análogo, as outras duas componentes também se anulam, mostrando que
.
Passo 3
Para achar a função potencial, integramos a primeira componente em relação a
:
Derivando em
:
logo
, ou seja,
.
Derivando em :
Derivando em
logo
e
é constante.
Passo 4
Conclui-se que uma função potencial é
Resposta
f(x,y,z)=e^x\sin(yz)+C