Calcule o volume do sólido W dado por
W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2=9 e 1 <= z <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido $ W $ que está definido pelas condições $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e $ 1 \leq z \leq 2 $. Isso envolve conceitos de Geometria Espacial, especificamente sobre esferas e cálculo de volumes usando integração. Vamos precisar usar coordenadas esféricas ou integrais em coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas condições representam. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. A condição $ 1 \leq z \leq 2 $ limita essa esfera entre os planos z = 1 e z = 2. Então, o sólido $ W $ é a parte da esfera entre essas duas alturas.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar integração em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são úteis aqui porque a equação da esfera é mais simples nesse sistema. Lembrando que em coordenadas esféricas, $ \rho $ é a distância radial, $ \theta $ o ângulo polar (de z positivo) e $ \phi $ o ângulo azimutal.
A fórmula do volume em coordenadas esféricas é:
rho

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • $ \rho $ varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • $ \theta $ varia de $ \arccos\left(\frac{2}{3}\right) $ a $ \arccos\left(\frac{1}{3}\right) $. Isso porque $ z = \rho \cos\theta $, então para $ z = 1 $, temos $ \cos\theta = \frac{1}{3} $, e para $ z = 2 $, $ \cos\theta = \frac{2}{3} $.
  • $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $ (círculo completo ao redor do eixo z).

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral:
V = integral0^2pi integralarccos(23)^arccos(13) integral0^3 rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Vamos integrar em ordem: primeiro $ \rho $, depois $ \theta $, e por último $ \phi $.

Passo 6

Integrando em relação a $ \rho $:
rho
Então, a integral fica:
integral0^3 rho^2 , drho = [rho^33]0^3 = 273 = 9

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
theta
Assim, a integral agora é:
integralarccos(23)^arccos(13) sintheta , dtheta = [-costheta]arccos(23)^arccos(13) = -cos(arccos(13)) + cos(arccos(23)) = -13 + 23 = 13

Passo 8

Finalmente, integrando em relação a $ \phi $:
phi
Portanto:
integral0^2pi dphi = 2pi

Resposta

O volume do sólido $ W $ é $ 6\pi $ unidades cúbicas.

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