Calcule o volume do sólido
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido $ W $ que está definido pelas condições $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e $ 1 \leq z \leq 2 $. Isso envolve conceitos de Geometria Espacial, especificamente sobre esferas e cálculo de volumes usando integração. Vamos precisar usar coordenadas esféricas ou integrais em coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essas condições representam. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. A condição $ 1 \leq z \leq 2 $ limita essa esfera entre os planos z = 1 e z = 2. Então, o sólido $ W $ é a parte da esfera entre essas duas alturas.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar integração em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são úteis aqui porque a equação da esfera é mais simples nesse sistema. Lembrando que em coordenadas esféricas, $ \rho $ é a distância radial, $ \theta $ o ângulo polar (de z positivo) e $ \phi $ o ângulo azimutal.
A fórmula do volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
- $ \rho $ varia de 0 a 3 (raio da esfera).
- $ \theta $ varia de $ \arccos\left(\frac{2}{3}\right) $ a $ \arccos\left(\frac{1}{3}\right) $. Isso porque $ z = \rho \cos\theta $, então para $ z = 1 $, temos $ \cos\theta = \frac{1}{3} $, e para $ z = 2 $, $ \cos\theta = \frac{2}{3} $.
- $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $ (círculo completo ao redor do eixo z).
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral:
Vamos integrar em ordem: primeiro $ \rho $, depois $ \theta $, e por último $ \phi $.
Passo 6
Integrando em relação a $ \rho $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
Assim, a integral agora é:
Passo 8
Finalmente, integrando em relação a $ \phi $:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido $ W $ é $ 6\pi $ unidades cúbicas.