Seja .
Verifique se f(x, y)=l32 x^2+y^2, 0, (x, y) neq(0, y)=(0,0) é diferenciável na origem.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a diferenciabilidade de f em (0,0), onde f é dada por
32x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0) 0, & (x,y)=(0,0)
O conteúdo é diferenciabilidade em duas variáveis, e vamos precisar lembrar que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 2

Para testar continuidade em (0,0), avaliamos o limite ao longo da reta y=0. Temos
limtto0f(t,0)=limtto032t^2=+infty
Como esse limite não é igual a f(0,0)=0, f não é contínua na origem.

Passo 3

Como diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto, concluímos que f não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

f não é diferenciável na origem.

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