Calcule as integrais abaixo.
integral xx^2-5 x+6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral xx^2 - 5x + 6 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Agora, vamos expressar a fração x(x - 2)(x - 3) como soma de frações mais simples. Assumimos que:
x(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de A e B. Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x - 3), temos:
x = A(x - 3) + B(x - 2)
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação.
Se x = 3:
3 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 3
Se x = 2:
2 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -2
Então, agora sabemos que:
x(x - 2)(x - 3) = -2x - 2 + 3x - 3

Passo 3

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -2x - 2 , dx + integral 3x - 3 , dx
Sabemos que a integral de 1x - a é ln|x - a|. Aplicando isso:
-2 ln|x - 2| + 3 ln|x - 3| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a -2,ln|x - 2| + 3,ln|x - 3| + C.
integral xx^2 - 5x + 6 , dx = -2,ln|x - 2| + 3,ln|x - 3| + C

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