Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe
tal que
). Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo em
(domínio simplesmente conexo).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
Como
temos
.
Passo 3
Verificar as outras componentes do rotacional:
Logo todas as componentes do rotacional são zero e, como o domínio é
, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Agora impomos
:
o que dá
, logo
. Em seguida impomos
:
de onde
. Assim