Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=y z sen x y i+x z sen x y j-cos x y k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(yzsin(xy),,xzsin(xy),,-cos(xy)r)
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe f tal que nabla f=F). Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo em R^3 (domínio simplesmente conexo).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
partial Ppartial y = partialpartial yl(yzsin(xy)r) = zsin(xy) + yzcos(xy),x,
partial Qpartial x = partialpartial xl(xzsin(xy)r) = zsin(xy) + xzcos(xy),y
Como
zsin(xy) + xyzcos(xy) = zsin(xy) + xyzcos(xy),
temos partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 3

Verificar as outras componentes do rotacional:
partial Ppartial z = partialpartial zl(yzsin(xy)r) = ysin(xy), partial Rpartial x = partialpartial xl(-cos(xy)r) = ysin(xy),
partial Qpartial z = xsin(xy), partial Rpartial y = xsin(xy)
Logo todas as componentes do rotacional são zero e, como o domínio é R^3, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f, integramos P=fx em relação a x:
f(x,y,z) = integral yzsin(xy),dx = yzl(-tfrac1ycos(xy)r) + g(y,z) = -zcos(xy) + g(y,z)

Passo 5

Agora impomos fy=Q:
fy = partialpartial yl(-zcos(xy)+g(y,z)r) = xzsin(xy) + gy(y,z) overset!= xzsin(xy),
o que dá gy=0, logo g(y,z)=h(z). Em seguida impomos fz=R:
fz = partialpartial zl(-zcos(xy)+h(z)r) = -cos(xy) + h'(z) overset!= -cos(xy),
de onde h'(z)=0. Assim
f(x,y,z) = -,zcos(xy) + constante

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z) = -,zcos(xy)

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