Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(h) Se
e
então
.
(h) Se
Passo 1
O enunciado apresenta a propriedade da ordem nos reais relacionada à adição: dadas quaisquer
com
e
, queremos mostrar que
Para isso usaremos dois axiomas básicos de um corpo ordenado:
- a compatibilidade da ordem com a adição, e
- a transitividade da ordem.
Passo 2
Pela compatibilidade da ordem com a adição, de
segue que, ao somarmos
em ambos os lados,
Passo 3
Analogamente, de
e somando
em ambos os lados, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a transitividade da ordem: como
e
, então
Resposta
Da compatibilidade da ordem com adição e da transitividade segue que