Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(h) Se a <= b e c <= d então a+c <= b+d.

Passo 1

O enunciado apresenta a propriedade da ordem nos reais relacionada à adição: dadas quaisquer (a,b,c,d)inR com a<= b e c<= d, queremos mostrar que
a+c<= b+d
Para isso usaremos dois axiomas básicos de um corpo ordenado:
  1. a compatibilidade da ordem com a adição, e
  2. a transitividade da ordem.

Passo 2

Pela compatibilidade da ordem com a adição, de a<= b segue que, ao somarmos c em ambos os lados,
a+c ,<=, b+c

Passo 3

Analogamente, de c<= d e somando b em ambos os lados, obtemos
b+c ,<=, b+d

Passo 4

Agora aplicamos a transitividade da ordem: como a+c<= b+c e b+c<= b+d, então
a+c ,<=, b+d

Resposta

Da compatibilidade da ordem com adição e da transitividade segue que
a + c <= b + d

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