Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=y z^2 e^r i+z e^r j+x y z e^r k

Passo 1

O campo vetorial dado é
F(x,y,z)=l(yz^2e^r,;z,e^r,;xyz,e^rr),
onde adotamos r=x^2+y^2+z^2.
Como o domínio de F é todo R^3, que é simplesmente-conexo, basta verificar se
nabla times F=0 para concluir sobre a conservatividade.

Passo 2

Vamos calcular a componente x do rotacional:
(nablatimesF)x =partialpartial yl(F3r) -partialpartial zl(F2r)
Aqui
F3(x,y,z)=xyz,e^r, F2(x,y,z)=z,e^r

Passo 3

Calculemos cada derivada:
partial F3partial y
partialpartial yl(xyz,e^rr) =xz,e^r +xyz,e^rcdotpartial rpartial y =xz,e^r+xyz,e^rcdot(2y) =xz,e^r+2xy^2z,e^r
partial F2partial z
partialpartial zl(z,e^rr) =e^r+z,e^rcdotpartial rpartial z =e^r+z,e^rcdot(2z) =e^r+2z^2e^r
Logo
(nablatimesF)x =l(xz+2xy^2z -1 -2z^2r),e^r,
e esse coeficiente não se anula identicamente em R^3.

Passo 4

Como pelo menos uma componente de nablatimesF é não nula, concluímos que
nablatimesFneq0. Portanto, F não é um campo conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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