Determine se o campo vetorial dado é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se o campo vetorial F(x,y)=(3x^2-2y^2), i + (3-4xy), j é conservativo. Esse é um assunto de campos vetoriais em que usamos o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas (conhecido como critério de Poincaré) num domínio simplesmente conexo (aqui R^2).

Passo 2

Primeiro separamos as componentes do campo: P(x,y)=3x^2-2y^2 e Q(x,y)=3-4xy. Em seguida, calculamos as derivadas parciais cruzadas que aparecem no teste:
Calculamos
partial Ppartial y = partialpartial y(3x^2 - 2y^2) = -4y,
e
partial Qpartial x = partialpartial x(3 - 4xy) = -4y

Passo 3

Como partial Ppartial y = -4y = partial Qpartial x para todo (x,y) em R^2, e R^2 é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para ilustrar completamente, podemos obter a função potencial varphi(x,y) tal que nabla varphi = F. Integramos P em relação a x:
varphi(x,y) = integral (3x^2 - 2y^2),dx = x^3 - 2xy^2 + h(y)
Depois derivamos essa varphi em relação a y e comparamos com Q:
partial varphipartial y = -4xy + h'(y) = 3 - 4xy
Logo h'(y)=3 e h(y)=3y + C. Assim
varphi(x,y)=x^3 -2xy^2 +3y + C

Resposta

O campo é conservativo, com potencial varphi(x,y)=x^3 -2xy^2 +3y +C.

Exercícios relacionados