Determine se o campo vetorial dado é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede pra gente decidir se o campo vetorial
é conservativo. Esse é um assunto de campos vetoriais em que usamos o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas (conhecido como critério de Poincaré) num domínio simplesmente conexo (aqui
).
Passo 2
Primeiro separamos as componentes do campo:
e
. Em seguida, calculamos as derivadas parciais cruzadas que aparecem no teste:
Calculamos
Calculamos
e
Passo 3
Como
para todo
em
, e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para ilustrar completamente, podemos obter a função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Depois derivamos essa
em relação a
e comparamos com
:
Logo
e
. Assim
Resposta
O campo é conservativo, com potencial
.