Determine se o campo vetorial dado é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte de Cálculo de várias variáveis, em que usamos condições de igualdade de derivadas parciais para campos em
.
Passo 2
Para um campo
ser conservativo em um domínio simplesmente conexo de
, basta que
e
tenham derivadas parciais contínuas e que valha
Aqui, tanto
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Observamos que
.
Passo 4
Como as condições estão satisfeitas (domínio simplesmente conexo e derivadas iguais), concluímos que
é conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo.