Determine se o campo vetorial dado é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(e^x+y+6e^2x)i+(e^x+y-2e^y)j é conservativo. Isso faz parte de Cálculo de várias variáveis, em que usamos condições de igualdade de derivadas parciais para campos em R^2.

Passo 2

Para um campo F=P,i+Q,j ser conservativo em um domínio simplesmente conexo de R^2, basta que P e Q tenham derivadas parciais contínuas e que valha
partial Ppartial y=partial Qpartial x
Aqui, tanto P(x,y)=e^x+y+6e^2x quanto Q(x,y)=e^x+y-2e^y são combinações de exponenciais, logo são C^infty em todo R^2, que é simplesmente conexo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y=partialpartial yl(e^x+y+6e^2xr)=e^x+y,
partial Qpartial x=partialpartial xl(e^x+y-2e^yr)=e^x+y
Observamos que partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 4

Como as condições estão satisfeitas (domínio simplesmente conexo e derivadas iguais), concluímos que F é conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo.

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