Determine se o campo vetorial dado é conservativo.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z)=(3x^2+2yz),i+(2xz+6yz),j+(2xy+3y^2-2z),k. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3 e vamos precisar usar o teste de conservatividade via o rotacional (∇×F).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias: partial Fzpartial y=partialpartial y(2xy+3y^2-2z)=2x+6y, partial Fypartial z=partialpartial z(2xz+6yz)=2x+6y, partial Fxpartial z=partialpartial z(3x^2+2yz)=2y, partial Fzpartial x=partialpartial x(2xy+3y^2-2z)=2y, partial Fypartial x=partialpartial x(2xz+6yz)=2z, partial Fxpartial y=partialpartial y(3x^2+2yz)=2z.

Passo 3

Agora montamos o rotacional: para a componente i temos partial Fzpartial y-partial Fypartial z=(2x+6y)-(2x+6y)=0; para a componente j temos partial Fxpartial z-partial Fzpartial x=2y-2y=0; para a componente k temos partial Fypartial x-partial Fxpartial y=2z-2z=0. Ou seja, nablatimes F=0.

Passo 4

Como o domínio é o espaço R^3, que é simplesmente conexo, e o rotacional de F é zero, concluímos que F é conservativo pelo teorema de Poincaré.

Resposta

O campo é conservativo, pois nablatimes F=0 em R^3 simplesmente conexo.

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