Determine se o campo vetorial dado é conservativo.
Passo 1
Temos o campo vetorial
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em
e vamos precisar usar o teste de conservatividade via o rotacional (∇×F).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
,
,
,
,
,
.
Passo 3
Agora montamos o rotacional: para a componente
temos
; para a componente
temos
; para a componente
temos
. Ou seja,
.
Passo 4
Como o domínio é o espaço
, que é simplesmente conexo, e o rotacional de
é zero, concluímos que
é conservativo pelo teorema de Poincaré.
Resposta
O campo é conservativo, pois
em
simplesmente conexo.