Determine se o campo vetorial dado é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso envolve o conteúdo de campos vetoriais em
e a verificação do rotacional de
, já que num domínio simplesmente conexo (como
) vale que
é conservativo se e só se
.
Passo 2
Para aplicar a teoria, lembramos que o rotacional de
é dado por
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial necessária:
Logo:
Passo 4
Substituindo no rotacional:
Observamos que a componente
vale
, que não é identicamente zero.
Passo 5
Como o rotacional de
não é o vetor nulo em
, concluímos que
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo.