Determine se o campo vetorial dado é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y,z)=(2y e^2x+e^x),i+(3z e^3y+e^2x),j+(x e^z+e^3y),k é conservativo. Isso envolve o conteúdo de campos vetoriais em R^3 e a verificação do rotacional de F, já que num domínio simplesmente conexo (como R^3) vale que F é conservativo se e só se nablatimes F=0.

Passo 2

Para aplicar a teoria, lembramos que o rotacional de F=(F1,F2,F3) é dado por
nablatimes F = l(partial F3partial y-partial F2partial zr),i + l(partial F1partial z-partial F3partial xr),j + l(partial F2partial x-partial F1partial yr),k

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  • F1(x,y,z)=2y e^2x+e^x
  • F2(x,y,z)=3z e^3y+e^2x
  • F3(x,y,z)=x e^z+e^3y
Logo:
partial F3partial y = 3e^3y, partial F2partial z = 3e^3y,
partial F1partial z = 0, partial F3partial x = e^z,
partial F2partial x = 2e^2x, partial F1partial y = 2e^2x

Passo 4

Substituindo no rotacional:
nablatimes F = (3e^3y-3e^3y),i + (0 - e^z),j + (2e^2x-2e^2x),k = 0,i - e^z,j + 0,k
Observamos que a componente j vale -e^z, que não é identicamente zero.

Passo 5

Como o rotacional de F não é o vetor nulo em R^3, concluímos que F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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