Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o campo vetorial
é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais em
e a condição de conservatividade dada por igualdades de derivadas parciais.
Passo 2
Definimos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Como
e o domínio é todo
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
, onde
é função a determinar.
Passo 5
Diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
.
Daí obtemos , logo
, constante arbitrária.
Daí obtemos
Resposta
Uma função potencial é
.