Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o campo vetorial F(x,y) = (3x^2 + 2y - y^2 e^x),i + (2x - 2y e^x),j é conservativo e, em seguida, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais em R^2 e a condição de conservatividade dada por igualdades de derivadas parciais.

Passo 2

Definimos P(x,y) = 3x^2 + 2y - y^2 e^x e Q(x,y) = 2x - 2y e^x. Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = 2 - 2y e^x
partial Qpartial x = 2 - 2y e^x

Passo 3

Como partial P/partial y = partial Q/partial x e o domínio é todo R^2, que é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral (3x^2 + 2y - y^2 e^x),dx = x^3 + 2yx - y^2 e^x + g(y), onde g(y) é função a determinar.

Passo 5

Diferenciamos f em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = 2x - 2y e^x + g'(y) stackrel!= 2x - 2y e^x.
Daí obtemos g'(y) = 0, logo g(y) = C, constante arbitrária.

Resposta

Uma função potencial é f(x,y) = x^3 + 2xy - y^2 e^x + C.

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