Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)-z x \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+y z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = -\,z\,x\,\mathbf{i} \;+\; x\,y\,\mathbf{j} \;+\; y\,z\,\mathbf{k}
é conservativo, e, caso seja, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O conteúdo principal aqui é o teste de conservatividade via o rotacional ( \nabla\times\mathbf{F}) em um domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^3).

Passo 2

Lembrando que um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) definido em um domínio simplesmente conexo é conservativo se, e somente se,
\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.
Identificamos
P(x,y,z) = -\,z\,x, \quad Q(x,y,z) = x\,y, \quad R(x,y,z) = y\,z.

Passo 3

Calculamos as componentes do rotacional:
\nabla \times \mathbf{F} = \bigl(\partial_y R - \partial_z Q,\;\partial_z P - \partial_x R,\;\partial_x Q - \partial_y P\bigr).
Agora cada derivada parcial:
\displaystyle \partial_y R = \partial_y(y\,z)=z,
\displaystyle \partial_z Q = \partial_z(x\,y)=0,
\displaystyle \partial_z P = \partial_z(-z\,x)=-\,x,
\displaystyle \partial_x R = \partial_x(y\,z)=0,
\displaystyle \partial_x Q = \partial_x(x\,y)=y,
\displaystyle \partial_y P = \partial_y(-z\,x)=0.
Portanto
\nabla \times \mathbf{F} = (\,z-0,\;-x-0,\;y-0) = (\,z,\,-x,\;y),
que não é o vetor nulo.

Passo 4

Como o rotacional \nabla\times\mathbf{F}=(z,-x,y) é diferente de \mathbf{0} em geral, concluímos que \mathbf{F} não é conservativo em \mathbb{R}^3. Logo não existe função potencial f global tal que \mathbf{F}=\nabla f.

Resposta

O campo não é conservativo, pois
\nabla \times \mathbf{F} = (z,\,-x,\,y)\neq\mathbf{0}.

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