Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo usado será o teste do rotacional (
) e a construção de
por meio de integrações parciais.
Passo 2
Calculamos o rotacional
onde
,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
,
primeiro componente
;
,
segunda componente
;
,
terceira componente
.
Logo
Calculando as derivadas parciais:
Logo
ou seja,
é conservativo em
(que é simplesmente conexo).
Passo 3
Como
é conservativo, existe
com
. Começamos integrando
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
temos
em que
é outra função a determinar.
Passo 5
Finalmente impomos
daí
Resposta
onde
é constante arbitrária.