Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+e^{y} \operatorname{sen} z \mathbf{j}+e^{y} \cos z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+e^{y}\sin z\,\mathbf{j}+e^{y}\cos z\,\mathbf{k}
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O conteúdo usado será o teste do rotacional ( \nabla\times\mathbf{F}=0) e a construção de f por meio de integrações parciais.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\mathbf{i} -\Bigl(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z}\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathbf{k},
onde P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=e^{y}\sin z e R(x,y,z)=e^{y}\cos z.
Calculando as derivadas parciais:
\partial R/\partial y=e^{y}\cos z, \partial Q/\partial z=e^{y}\cos z \Rightarrow primeiro componente =0;
\partial R/\partial x=0, \partial P/\partial z=0 \Rightarrow segunda componente =0;
\partial Q/\partial x=0, \partial P/\partial y=0 \Rightarrow terceira componente =0.
Logo
\nabla\times\mathbf{F}=0,
ou seja, \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3 (que é simplesmente conexo).

Passo 3

Como \mathbf{F} é conservativo, existe f com \nabla f=\mathbf{F}. Começamos integrando
\frac{\partial f}{\partial x}=P=x \quad\Longrightarrow\quad f(x,y,z)=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+g(y,z),
onde g é função a determinar.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^2}{2}+g(y,z)\Bigr) =\frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=}Q=e^{y}\sin z
temos
\frac{\partial g}{\partial y}=e^{y}\sin z \quad\Longrightarrow\quad g(y,z)=\int e^{y}\sin z\,dy =e^{y}\sin z+h(z),
em que h é outra função a determinar.

Passo 5

Finalmente impomos
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}+e^{y}\sin z+h(z)\Bigr) =e^{y}\cos z+h'(z) \stackrel{!}{=}R=e^{y}\cos z,
daí
h'(z)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(z)=C\\ (\text{constante}).

Resposta

f(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+e^{y}\sin z+C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados