Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+\left(y^{2}+x z\right) \mathbf{j}+x y \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=yz\,\mathbf{i}+\bigl(y^{2}+xz\bigr)\,\mathbf{j}+xy\,\mathbf{k}
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O conteúdo usa o conceito de curl e integração de componentes para achar potencial.

Passo 2

Um campo vetorial em \mathbb{R}^3 é conservativo se o seu rotacional for zero em um domínio simplesmente conexo. Calculamos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ yz & y^{2}+xz & xy \end{vmatrix}.
As componentes são
(\nabla\times\mathbf{F})_1 =\partial_y(xy)-\partial_z(y^2+xz) =x - x =0,
(\nabla\times\mathbf{F})_2 =\partial_z(yz)-\partial_x(xy) =y - y =0,
(\nabla\times\mathbf{F})_3 =\partial_x(y^2+xz)-\partial_y(yz) =z - z =0.
Logo \nabla\times\mathbf{F}=0.

Passo 3

Como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo) e \nabla\times\mathbf{F}=0, concluímos que \mathbf{F} é conservativo. Assim existe f com
\frac{\partial f}{\partial x}=yz.
Integrando em relação a x,
f(x,y,z)=\int yz\,dx=xyz + h(y,z),
onde h é função ainda a determinar.

Passo 4

Para achar h(y,z), usamos
\frac{\partial f}{\partial y} =xz + \frac{\partial h}{\partial y} \stackrel!=y^{2}+xz.
Isto dá \partial h/\partial y=y^{2} e, integrando em y,
h(y,z)=\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}+g(z),
com g função só de z.

Passo 5

Finalmente, impomos
\frac{\partial f}{\partial z} =xy + g'(z) \stackrel!=xy.
Logo g'(z)=0, isto é, g é constante.

Resposta

O campo \mathbf{F} é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=xyz+\frac{y^{3}}{3}+C,
com C constante arbitrária.

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