Determine se o campo vetorial F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sen z k é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f e use este resultado para calcular integralC F d r sobre a curva C: r(t)=t^2 i+sen t j+t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial F(x, y, z) = y^2 cos z i + 2 x y cos z j - x y^2 sin z k é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função f tal que F = nabla f e depois calcular a integral de linha integralC F cdot dr sobre uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradiente e integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F é conservativo se existir uma função escalar f tal que F seja o gradiente de f, ou seja, F = nabla f. Uma condição importante para que F seja conservativo é que seu rotacional seja zero, ou seja, nabla times F = 0.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. Lembrando que o rotacional de F = P i + Q j + R k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R:
P = y^2 cos z Q = 2 x y cos z R = -x y^2 sin z

Passo 4

Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Para a componente i:
partial Rpartial y = partialpartial y (-x y^2 sin z) = -2x y sin z partial Qpartial z = partialpartial z (2 x y cos z) = -2x y sin z i-componente = (-2x y sin z) - (-2x y sin z) = 0
  1. Para a componente j:
partial Ppartial z = partialpartial z (y^2 cos z) = -y^2 sin z partial Rpartial x = partialpartial x (-x y^2 sin z) = -y^2 sin z j-componente = (-y^2 sin z) - (-y^2 sin z) = 0
  1. Para a componente k:
partial Qpartial x = partialpartial x (2 x y cos z) = 2 y cos z partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 cos z) = 2 y cos z k-componente = (2 y cos z) - (2 y cos z) = 0

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional de F são zero, concluímos que nabla times F = 0. Portanto, o campo vetorial F é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial f tal que F = nabla f. Isso significa:
partial fpartial x = y^2 cos z partial fpartial y = 2 x y cos z partial fpartial z = -x y^2 sin z
Vamos integrar partial fpartial x em relação a x:
f(x, y, z) = integral y^2 cos z , dx = y^2 cos z cdot x + g(y, z)
Onde g(y, z) é uma função arbitrária de y e z.

Passo 7

Agora, vamos derivar f(x, y, z) em relação a y e igualar a partial fpartial y:
partial fpartial y = 2 x y cos z + partial gpartial y = 2 x y cos z
Isso implica que partial gpartial y = 0, ou seja, g não depende de y:
g(y, z) = h(z)
Onde h(z) é uma função de z apenas.

Passo 8

Agora, vamos derivar f(x, y, z) em relação a z e igualar a partial fpartial z:
partial fpartial z = -y^2 sin z cdot x + h'(z) = -x y^2 sin z
Isso nos dá h'(z) = 0, então h(z) é uma constante. Podemos assumir h(z) = 0 sem perda de generalidade.

Passo 9

Portanto, a função potencial f é:
f(x, y, z) = x y^2 cos z

Passo 10

Agora, vamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr sobre a curva C dada por r(t) = t^2 i + sin t j + t k, com 0 <= t <= pi. Como F é conservativo, a integral depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final da curva.
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
  • Para t = 0:
r(0) = 0 i + sin 0 j + 0 k = (0, 0, 0)
  • Para t = pi:
r(pi) = pi^2 i + sin pi j + pi k = (pi^2, 0, pi)

Passo 11

Calculamos f nos pontos inicial e final:
  • f(0, 0, 0) = 0 cdot 0^2 cos 0 = 0
  • f(pi^2, 0, pi) = pi^2 cdot 0^2 cos pi = 0

Passo 12

Finalmente, a integral de linha é:
integralC F cdot dr = f(pi^2, 0, pi) - f(0, 0, 0) = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr sobre a curva C vale 0.

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