Determine se o campo vetorial
é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função
tal que
e use este resultado para calcular
sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que
e depois calcular a integral de linha
sobre uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradiente e integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
seja o gradiente de
, ou seja,
. Uma condição importante para que
seja conservativo é que seu rotacional seja zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que o rotacional de
é dado por:
Vamos identificar
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional de
são zero, concluímos que
. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá
, então
é uma constante. Podemos assumir
sem perda de generalidade.
Passo 9
Portanto, a função potencial
é:
Passo 10
Agora, vamos calcular a integral de linha
sobre a curva
dada por
, com
. Como
é conservativo, a integral depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva.
Vamos encontrar os pontos inicial e final:
- Para
:
- Para
:
Passo 11
Calculamos
nos pontos inicial e final:
Passo 12
Finalmente, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha
sobre a curva
vale
.