Determine se o campo vetorial é ou não conservativo
Passo 1
O enunciado pede para descobrir se o campo vetorial é conservativo. O conteúdo central aqui é o conceito de campo conservativo, que exige verificar se a rotação (curl) de é nula em um domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Para ver se o curl é zero, calculamos via determinante:
Isso dá para cada componente:
• Componente em hatimath: partialy(e^3)-partialz(1)=0-0=0.
• Componente em hatjmath: partialz(e^x)-partialx(e^3)=0-0=0.
• Componente em hat k: partialx(1)-partialy(e^x)=0-0=0.
Passo 3
Como todas as componentes do curl são zero e o domínio é R^3, que é simplesmente conexo e não possui singularidades, concluímos que vec F é conservativo.
Passo 4
Para encontrar uma função potencial phi(x,y,z) satisfazendo nablaphi=vec F, integramos: