Determine se o campo vetorial F(x, y)=e^z+jmath+e^3 k é ou não conservativo

Passo 1

O enunciado pede para descobrir se o campo vetorial vec F(x,y,z)=e^x,hatimath+1,hatjmath+e^3,hat k é conservativo. O conteúdo central aqui é o conceito de campo conservativo, que exige verificar se a rotação (curl) de vec F é nula em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Para ver se o curl é zero, calculamos nablatimesvec F via determinante:
nablatimesvec F= hatimath & hatjmath & hat k tfracpartialpartial x & tfracpartialpartial y & tfracpartialpartial z e^x & 1 & e^3
Isso dá para cada componente:
• Componente em hatimath: partialy(e^3)-partialz(1)=0-0=0.
• Componente em hatjmath: partialz(e^x)-partialx(e^3)=0-0=0.
• Componente em hat k: partialx(1)-partialy(e^x)=0-0=0.

Passo 3

Como todas as componentes do curl são zero e o domínio é R^3, que é simplesmente conexo e não possui singularidades, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar uma função potencial phi(x,y,z) satisfazendo nablaphi=vec F, integramos:
  1. partialxphi=e^x phi=e^x+h(y,z).
  2. partialyphi=1 hy=1 h=y+g(z).
  3. partialzphi=e^3 g'(z)=e^3 g(z)=ze^3+C.
    Portanto,
phi(x,y,z)=e^x+y+ze^3+C

Passo 5

Logo, o campo vec F é conservativo e admite potencial phi(x,y,z)=e^x+y+ze^3+C.

Resposta

O campo é conservativo, com potencial phi(x,y,z)=e^x+y+ze^3+C.

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