Determine nabla f, o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y, z)=x^2 y e^y / z

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y,z)=x^2y,e^y/z. O gradiente é o campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z:
nabla f = l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial y,,tfracpartial fpartial zr)

Passo 2

Calcular partial f/partial x. Aqui y e z são constantes, então
f(x,y,z)=x^2y,e^y/z Longrightarrow tfracpartial fpartial x =2x,y,e^y/z

Passo 3

Calcular partial f/partial y. Agora x e z são constantes. Use produto e cadeia em
f(x,y,z)=x^2l(y,e^y/zr)
Temos
tfracddyl(y,e^y/zr) =e^y/z+ycdot e^y/zcdottfrac1z =e^y/z!l(1+tfracyzr),
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tfracpartial fpartial y =x^2,e^y/z!l(1+tfracyzr)

Passo 4

Calcular partial f/partial z. Aqui x e y são constantes. Em
f(x,y,z)=x^2y,e^y/z,
a derivada de e^y/z em relação a z é e^y/zcdot(-y/z^2). Assim,
tfracpartial fpartial z =x^2y,e^y/z,l(-yz^2r) =-x^2y^2z^2,e^y/z

Passo 5

Juntando as três componentes, o gradiente é
nabla f(x,y,z) =l(2x,y,e^y/z,;x^2e^y/zl(1+tfracyzr),;-tfracx^2y^2z^2,e^y/zr)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(2x,y,e^y/z,;x^2e^y/z(1+tfracyz),;-x^2y^2e^y/z/z^2r)

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