Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f e esboce-o.
f(x, y)=12(x^2-y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=tfrac12l(x^2 - y^2r)
e pede o campo vetorial gradiente nabla f. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, isto é, calcular partial f/partial x e partial f/partial y.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como y é tratado como constante,
partial fpartial x = partialpartial xl(tfrac12 x^2 - tfrac12 y^2r) = tfrac12 cdot 2x - 0 = x

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Agora x é constante,
partial fpartial y = partialpartial yl(tfrac12 x^2 - tfrac12 y^2r) = 0 - tfrac12 cdot 2y = -y

Passo 4

Com as parciais em mãos, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial yr) =(x,,-y)
Para esboçar esse campo, note que:
  • Em y=0 temos (x,0): vetores horizontais apontando para a direita se x>0 e para a esquerda se x<0.
  • Em x=0 temos (0,-y): vetores verticais apontando para baixo se y>0 e para cima se y<0.
  • Nos quadrantes, as componentes se combinam: por exemplo, em x>0,y>0 o vetor aponta para baixo e para a direita; em x>0,y<0 aponta para cima e para a direita, e assim por diante.
    Esse padrão gera linhas de fluxo que lembram hiperbolas centradas na origem.

Resposta

nabla f(x,y) = (x,,-y)

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