Determine o campo vetorial gradiente
de
e esboce-o.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o campo vetorial gradiente
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, isto é, calcular
e
.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Como
é tratado como constante,
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Agora
é constante,
Passo 4
Com as parciais em mãos, o gradiente é
Para esboçar esse campo, note que:
- Em
temos : vetores horizontais apontando para a direita se e para a esquerda se . - Em
temos : vetores verticais apontando para baixo se e para cima se . - Nos quadrantes, as componentes se combinam: por exemplo, em
o vetor aponta para baixo e para a direita; em aponta para cima e para a direita, e assim por diante.
Esse padrão gera linhas de fluxo que lembram hiperbolas centradas na origem.