Determine o campo vetorial gradiente
de
e esboce-o.
Passo 1
O enunciado pede o campo gradiente de
e um esboço dele. Vamos usar definição de derivadas parciais: a componente
-ésima de
é
.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Como
temos por cadeia:
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente por cadeia:
Passo 4
Juntando as duas componentes, o gradiente fica
Ou seja, em cada ponto o vetor aponta na direção
multiplicada por
.
Passo 5
Para esboçar
:
– Sobre a reta temos
, logo
.
– Para , o coeficiente
faz o vetor apontar na direção
.
– Para , ele aponta em
.
O módulo cresce conforme . As linhas de nível de
são retas
, e os vetores do gradiente são perpendiculares a essas retas, saindo ou entrando no eixo
.
– Sobre a reta
– Para
– Para
O módulo cresce conforme