Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f e esboce-o.
f(x, y)=12(x-y)^2

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente de f(x,y)=tfrac12(x-y)^2 e um esboço dele. Vamos usar definição de derivadas parciais: a componente i-ésima de nabla f é partial f/partial xi.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Como
f(x,y)=12l(x-yr)^2,
temos por cadeia:
partial fpartial x =12cdot2,(x-y),partialpartial x(x-y) =(x-y)cdot1 =x-y

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Novamente por cadeia:
partial fpartial y =12cdot2,(x-y),partialpartial y(x-y) =(x-y)cdot(-1) =-(x-y)

Passo 4

Juntando as duas componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y)=l(x-y,,-(x-y)r)
Ou seja, em cada ponto o vetor aponta na direção (1,-1) multiplicada por x-y.

Passo 5

Para esboçar nabla f:
– Sobre a reta y=x temos x-y=0, logo nabla f=0.
– Para x>y, o coeficiente x-y>0 faz o vetor apontar na direção (1,-1).
– Para x<y, ele aponta em (-1,1).
O módulo cresce conforme |x-y|. As linhas de nível de f são retas x-y=constante, e os vetores do gradiente são perpendiculares a essas retas, saindo ou entrando no eixo 45^circ.

Resposta

nabla f(x,y)=l(x-y,,-(x-y)r)

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