Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=e^3 x cos 4 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo vetorial gradiente de fcolonR^2toR dado por
f(x,y)=e^3xcos 4y
Para isso vamos usar a definição de gradiente:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante. Como cos 4y é constante, usa-se
partial fpartial x =ddxl(e^3xr)cdotcos 4y =3e^3xcos 4y

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante. Aqui e^3x é constante e
ddyl(cos 4yr)=-4sin 4y,
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partial fpartial y =e^3xcdot(-4sin 4y) =-4e^3xsin 4y

Passo 4

Reunindo as duas derivadas parciais, obtemos o campo gradiente:
nabla f(x,y) =l(3e^3xcos 4y,,-4e^3xsin 4yr)

Resposta

nabla f(x,y)=l(3e^3xcos 4y,,-4e^3xsin 4yr)

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