Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 3(2 x^2-7 x+4)=1

Passo 1

Resumindo: queremos provar, usando a definição epsilon- de<a, que
limxto3l(2x^2-7x+4r)=1
Isto é, mostrar que dado qualquer varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, então
l|(2x^2-7x+4)-1r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
l|(2x^2-7x+4)-1r| =l|2x^2-7x+3r| =l|(2x-1)(x-3)r| =|2x-1|;|x-3|

Passo 3

Para controlar o fator |2x-1|, restringimos de<a<=1. Se 0<|x-3|<1 então xin(2,4) e, nesse intervalo,
|2x-1|<maxxin[2,4]|2x-1|=7
Logo, sempre que 0<|x-3|<de<a<=1, vale
l|(2x^2-7x+4)-1r|<= 7,|x-3|

Passo 4

Queremos 7,|x-3|<varepsilon, i.e.\ |x-3|<tfracvarepsilon7. Portanto basta escolher
de<a=minl1,;tfracvarepsilon7r
Com essa escolha, se 0<|x-3|<de<a então
l|(2x^2-7x+4)-1r|<=7,|x-3|<7,de<a<=7cdottfracvarepsilon7=varepsilon,
o que encerra a prova pelo critério epsilon- de<a.

Resposta

limxto3l(2x^2-7x+4r)=1

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