Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -2(3 x^2+6 x-2)=-2

Passo 1

O enunciado pede para provar, a partir da definição ε–δ de limite, que
limxto -2l(3x^2+6x-2r) = -2
Aqui f(x)=3x^2+6x-2 é um polinômio e esperamos que o limite em x0=-2 seja f(-2)=-2. Nosso objetivo é mostrar que, dados varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x+2|<de<aLongrightarrowl|f(x)-(-2)r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença l|f(x)+2r|:
f(x)+2 = l(3x^2+6x-2r)+2 = 3x^2+6x = 3x(x+2)
Logo
l|f(x)+2r| = 3,|x|,|x+2|

Passo 3

Precisamos controlar 3,|x|,|x+2| por baixo de varepsilon. Para isso, impomos adicionalmente
de<a<=1. Então, se |x+2|<de<a<=1, temos
-2-1 < x < -2+1 Longrightarrow -3 < x < -1 Longrightarrow |x|<3
Assim
l|f(x)+2r| = 3,|x|,|x+2| < 3cdot 3cdot |x+2| = 9,|x+2|

Passo 4

Queremos 9,|x+2|<varepsilon. Basta garantir
|x+2|<varepsilon9
Portanto, escolhendo
de<a = minl(1,;varepsilon9r),
asseguramos simultaneamente de<a<=1 e |x+2|<varepsilon/9. Então, sempre que 0<|x+2|<de<a, valem os dois estimativas acima e obtemos
l|f(x)+2r| < 9,|x+2| < 9cdotvarepsilon9 = varepsilon

Resposta

Escolhendo de<a=minl(1,varepsilon/9r), temos
0<|x+2|<de<a Longrightarrow l|3x^2+6x-2 -(-2)r|<varepsilon,
o que prova que limxto-2(3x^2+6x-2)=-2.

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