Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=x^5-4 x^2 y^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^5-4x^2y^3 e pede o campo vetorial gradiente, que em funções de duas variáveis é obtido pelas derivadas parciais de f.

Passo 2

Por definição, o gradiente de f é o vetor
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a x. Para isso,
  • partialpartial x(x^5)=5x^4,
  • partialpartial x(-4x^2y^3)=-8x,y^3.
    Logo,
partial fpartial x=5x^4-8x,y^3

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y. Temos
  • partialpartial y(x^5)=0,
  • partialpartial y(-4x^2y^3)=-12x^2y^2.
    Portanto,
partial fpartial y=-12x^2y^2

Resposta

nabla f(x,y)=l(5x^4-8x,y^3,,-12x^2y^2r)

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