Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x 3(2 x^2-4 x+3)=9

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
limxto3l(2x^2-4x+3r)=9
O conteúdo é a definição varepsilon de<a de limite para funções reais: provar que, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-3|<de<aLongrightarrowl|2x^2-4x+3-9r|<varepsilon

Passo 2

Calcule f(3) para identificar o valor do limite candidato. Seja
f(x)=2x^2-4x+3
Então
f(3)=2cdot3^2-4cdot3+3=18-12+3=9,
logo faz sentido esperar que o limite seja 9. Pela definição, precisamos controlar
l|f(x)-9r|=l|2x^2-4x+3-9r|=l|2x^2-4x-6r|

Passo 3

Fatore a expressão dentro do valor absoluto:
2x^2-4x-6=2l(x^2-2x-3r) =2l(x-3r)l(x+1r)
Portanto
l|f(x)-9r| =2,|x-3|,|x+1|

Passo 4

Para estimar |x+1|, restrinja x a um intervalo em torno de 3. Suponha
|x-3|<1 Longrightarrow 2<x<4 Longrightarrow 3<x+1<5 Longrightarrow |x+1|<5
Então, sempre que 0<|x-3|<1, vale
l|f(x)-9r|=2,|x-3|,|x+1|<2cdot5,|x-3|=10,|x-3|

Passo 5

Dado um varepsilon>0, escolha
de<a=minl1,varepsilon10r
Assim, se 0<|x-3|<de<a, então |x-3|<1 e |x-3|<varepsilon/10. Logo
l|f(x)-9r| <10,|x-3| <10cdotvarepsilon10 =varepsilon
Isso completa a prova pela definição de limite.

Resposta

limxto3l(2x^2-4x+3r)=9

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