Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -2(x^2-6 x-2)=14

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite ( epsilon de<a), que
limxto -2l(x^2 - 6x - 2r) = 14
Ou seja, precisamos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x+2|<de<a, valha
l|,x^2 - 6x - 2 - 14r|<varepsilon

Passo 2

Começamos simplificando a diferença dentro do valor absoluto:
l|x^2 - 6x - 2 - 14r| = l|x^2 - 6x - 16r| = l|(x+2)(x-8)r| = |x+2|;l|x-8r|

Passo 3

Para controlar o fator l|x-8r|, impomos uma condição extra sobre de<a. Por exemplo, se exigirmos
|x+2|<1,
então x fica no intervalo (-3,-1). Nesse intervalo
-3< x < -1 Longrightarrow -11 < x-8 < -9 Longrightarrow l|x-8r|<11
Logo, sempre que 0<|x+2|<1 teremos
l|x^2 - 6x - 2 - 14r| = |x+2|;l|x-8r| <11,|x+2|

Passo 4

Dado um varepsilon>0, escolha
de<a = minl1,;tfracvarepsilon11r
Então, se 0<|x+2|<de<a, temos por um lado |x+2|<1 (logo l|x-8r|<11) e por outro lado
|x+2|<tfracvarepsilon11
Combinando:
l|x^2 - 6x - 2 - 14r| <11,|x+2| <11;varepsilon11 =varepsilon

Passo 5

Acabamos de mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 (escolhido acima) tal que 0<|x+2|<de<a implica
l|x^2 -6x -2-14r|<varepsilon. Isso é exatamente a definição de
limxto -2(x^2 -6x -2)=14.

Resposta

limxto -2l(x^2 - 6x - 2r) = 14.

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