Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha aqui! O exercício pede para calcular a integral ∫₍C₎ x e^{y z} ds, onde C é um segmento de reta que vai do ponto (-1, 5, 0) até o ponto (1, 6, 4). Para isso, vamos trabalhar com cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, e vamos precisar parametrizar a curva C e expressar o diferencial de comprimento ds em termos de um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de t, onde t vai de 0 a 1.
A parametrização geral de uma reta que vai de um ponto P₀(a, b, c) para um ponto P₁(d, e, f) é:
No nosso caso, P₀ = (-1, 5, 0) e P₁ = (1, 6, 4). Então:
Isso dá as componentes:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento ds. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a t:
O comprimento de
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na integral original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente devido à presença do termo exponencial com $ (5 + t)(4t) $. Portanto, podemos optar por calcular uma aproximação numérica usando métodos como o da regra dos trapézios ou Simpson. No entanto, para fins deste exercício, vamos deixar a integral na forma final expressa:
Resposta
A integral de linha é igual a
vezes a integral de $ (-1 + 2t) e^{20t + 4t^2} $ de $ t = 0 $ a $ t = 1 $: