Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4).
integralC x e^y z d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha aqui! O exercício pede para calcular a integral ∫₍C₎ x e^{y z} ds, onde C é um segmento de reta que vai do ponto (-1, 5, 0) até o ponto (1, 6, 4). Para isso, vamos trabalhar com cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional, e vamos precisar parametrizar a curva C e expressar o diferencial de comprimento ds em termos de um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de t, onde t vai de 0 a 1.
A parametrização geral de uma reta que vai de um ponto P₀(a, b, c) para um ponto P₁(d, e, f) é:
r(t) = P0 + t (P1 - P0)
No nosso caso, P₀ = (-1, 5, 0) e P₁ = (1, 6, 4). Então:
r(t) = (-1, 5, 0) + t [(1 - (-1), 6 - 5, 4 - 0)] = (-1, 5, 0) + t (2, 1, 4)
Isso dá as componentes:
x(t) = -1 + 2t
y(t) = 5 + t
z(t) = 0 + 4t = 4t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento ds. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = ddt r(t) = (2, 1, 4)
O comprimento de r,'(t) é:
|r,'(t)| = raiz2^2 + 1^2 + 4^2 = raiz4 + 1 + 16 = raiz21
Então, temos:
ds = |r,'(t)| dt = raiz21, dt

Passo 4

Agora, substituímos x, y, z e ds na integral original:
integralC x e^y z ds = integral0^1 [x(t) e^y(t) z(t)] cdot ds
Substituindo as expressões que encontramos:
= integral0^1 [(-1 + 2t) e^(5 + t)(4t)] cdot raiz21, dt
Podemos simplificar isso para:
raiz21 integral0^1 (-1 + 2t) e^(5 + t)(4t) dt

Passo 5

Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente devido à presença do termo exponencial com $ (5 + t)(4t) $. Portanto, podemos optar por calcular uma aproximação numérica usando métodos como o da regra dos trapézios ou Simpson. No entanto, para fins deste exercício, vamos deixar a integral na forma final expressa:
(5 + t)(4t)

Resposta

A integral de linha é igual a raiz21 vezes a integral de $ (-1 + 2t) e^{20t + 4t^2} $ de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
(-1 + 2t) e^20t + 4t^2

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