Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y, z)=x y^2-y z^3

Passo 1

O enunciado pede o campo vetorial gradiente de fcolonR^3toR dada por
f(x,y,z)=x,y^2-y,z^3
Sabemos que o gradiente de f é
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr),
isto é, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Como y e z são tratados como constantes, temos
partialpartial xl(x,y^2r)=y^2, partialpartial xl(-y,z^3r)=0
Logo,
partial fpartial x=y^2

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Tratando x e z como constantes,
partialpartial yl(x,y^2r)=2,x,y, partialpartial yl(-y,z^3r)=-z^3
Portanto,
partial fpartial y=2,x,y - z^3

Passo 4

Calcular partial fpartial z.
Agora x e y são constantes, então
partialpartial zl(x,y^2r)=0, partialpartial zl(-y,z^3r)=-3,y,z^2
Assim,
partial fpartial z=-3,y,z^2

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(y^2,;2,x,y - z^3,;-3,y,z^2r)

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