Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja contínua:
f(x)= x^2-4x-2 & se x<2 a x^2-b x+3 & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se x >= 3

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= x^2-4x-2, & x<2, a x^2-b x+3, & 2 <= x<3, 2x - a + b, & x>=3,
e pede os valores de a e b tais que f seja contínua em todos os pontos. Como a única possível descontinuidade está em x=2 e x=3, vamos usar aí a definição de continuidade: o limite pela esquerda deve coincidir com o limite pela direita (e com o valor da função, quando existe).

Passo 2

Continuidade em x=2.
Para x<2, note que
x^2-4x-2 = (x-2)(x+2)x-2 = x+2 (xneq2),
logo
limxto2^-f(x) = 2+2 = 4
Para x>2 (mas próximo de 2),
f(x)=a x^2-b x+3,
então
limxto2^+f(x) = 4a -2b +3
Pela continuidade em 2,
4a -2b +3 = 4 Longrightarrow 4a -2b = 1 Longrightarrow 2a - b = tfrac12

Passo 3

Continuidade em x=3.
Para x<3 (pela segunda parte),
limxto3^-f(x) = 9a -3b +3
Para x>=3, o valor da função em 3 é
f(3) = 2cdot3 - a + b = 6 - a + b
Igualando para continuidade em 3,
9a -3b +3 = 6 - a + b Longrightarrow 10a -4b = 3 Longrightarrow 5a -2b = tfrac32

Passo 4

Resolvendo o sistema
2a - b = tfrac12, 5a -2b = tfrac32,
da primeira equação vem b = 2a - tfrac12. Substituindo na segunda:
5a -2l(2a - tfrac12r) = tfrac32 Longrightarrow 5a -4a +1 = tfrac32 Longrightarrow a = tfrac12
Então
b = 2cdottfrac12 - tfrac12 = tfrac12

Resposta

a = tfrac12 e b = tfrac12.

Exercícios relacionados