Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a expressão da solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos dividir em duas partes: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois procuramos uma solução particular como soma de três partes, uma para cada termo do lado direito.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
logo ou . Assim
Passo 3
Para o termo
Calculando e e substituindo em obtemos o sistema
cuja solução é . Logo
Passo 4
Para o termo 4te^-t notamos que e^-t é raiz simples da característica, então usamos
yp2=e^-t(Ct^2+Dt)
Substituindo em y''+3y'+2y=4te^-t achamos
C=2, D=-4,
portanto
yp2=e^-t(2t^2-4t)
Passo 5
Para o termo polinomial t^2 o palpite é
yp3=at^2+bt+c
Substituindo em y''+3y'+2y=t^2 gera o sistema
2a=1,6a+2b=0,2a+3b+2c=0,
cuja solução é a=tfrac12, b=-tfrac32, c=tfrac74. Assim