Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a expressão da solução geral da equação
y^prime prime+3 y^prime+2 y=3 e^2 t cos (t)+4 t e^-t+t^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y''+3y'+2y=3e^2tcos t+4te^-t+t^2
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos dividir em duas partes: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois procuramos uma solução particular como soma de três partes, uma para cada termo do lado direito.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+3y'+2y=0
A equação característica é
r^2+3r+2=0Longrightarrow (r+1)(r+2)=0,
logo r=-1 ou r=-2. Assim
yh=C1e^-t+C2e^-2t

Passo 3

Para o termo
Calculando e e substituindo em obtemos o sistema
cuja solução é . Logo

Passo 4

Para o termo 4te^-t notamos que e^-t é raiz simples da característica, então usamos
yp2=e^-t(Ct^2+Dt)
Substituindo em y''+3y'+2y=4te^-t achamos
C=2, D=-4,
portanto
yp2=e^-t(2t^2-4t)

Passo 5

Para o termo polinomial t^2 o palpite é
yp3=at^2+bt+c
Substituindo em y''+3y'+2y=t^2 gera o sistema
2a=1,6a+2b=0,2a+3b+2c=0,
cuja solução é a=tfrac12, b=-tfrac32, c=tfrac74. Assim
yp3=tfrac12t^2-tfrac32t+tfrac74

Passo 6

A solução particular geral é
yp=yp1+yp2+yp3,
e a solução geral da equação é
y(t)=yh+yp =C1e^-t+C2e^-2t +e^2tl(tfrac33170cos t+tfrac21170sin tr) +e^-t(2t^2-4t) +l(tfrac12t^2-tfrac32t+tfrac74r)

Resposta

boxed y(t)=C1e^-t+C2e^-2t +e^2tl(tfrac33170cos t+tfrac21170sin tr) +e^-t(2t^2-4t) +tfrac12t^2-tfrac32t+tfrac74

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