Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Determinar quando o campo é conservativo (em que pontos/regiões do plano).
- Quando for conservativo, encontrar uma função potencial para ele.
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes do campo são polinômios em
e : -
(componente em ); -
(componente em ).
-
- Não foi dada nenhuma restrição de domínio no enunciado, então devemos considerar o domínio natural do campo (onde as componentes estão definidas).
Passo 2
Conceito e critério prático (aula rápida):
- Um campo de vetores
em duas variáveis é conservativo numa região se existe uma função potencial tal que - Um critério simples e muito usado: se
e têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conectada , então é conservativo em se, e somente se, em toda a região. Esse é o teste do “rotacional zero” em duas dimensões. - Observação prática: polinômios têm derivadas parciais contínuas em todo
, e é simplesmente conectado. Portanto, basta aplicar a igualdade das derivadas cruzadas em todo o plano para concluir que o campo é conservativo em todo , se a igualdade valer.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando cada passo):
-
Primeiro calcule
. Como , derivando em relação a : (Aqui useu-se a regra do produto:, pois é tratado como constante ao derivar em relação a .) -
Agora calcule
. Como , derivando em relação a : (Novamente aplicação da regra do produto; o termo constantesome na derivada.)
Passo 4
Comparação e conclusão sobre conservatividade:
- Observamos que
para todo . - As derivadas parciais envolvidas são polinômios (portanto contínuas) e o domínio natural do campo é
, que é simplesmente conectado. - Portanto, pelo critério do passo anterior, o campo
é conservativo em todo .
Passo 5
Método para encontrar a função potencial (passo-a-passo):
- Procuramos
tal que - Integre
em relação a tratando como constante: Calcule a integral:
Então, após integrar em
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre funções puramente de
).
Passo 6
Determinar
usando
:
- Diferencie a expressão encontrada para
em relação a : - Iguale isso à componente
: Subtraindo dos dois lados obtemos - Integre
em relação a : onde é constante real.
Passo 7
Escrever a função potencial final e verificar:
- Substituindo
em , obtemos - Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcule
e : Logo está tudo consistente.
Resposta
O campo é conservativo em todo
.
Uma função potencial é , onde
é constante.
Uma função potencial é