Determine quando o campo vetorial nos itens abaixo é conservativo. Quando o campo for conservativo, determine uma função potencial para ele
\vec{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}-y^{3}\right) \vec{i}+\left(2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(2x^{2}y-3xy^{2}+2\bigr)\,\vec{j}
e pede duas coisas:
  • Determinar quando o campo é conservativo (em que pontos/regiões do plano).
  • Quando for conservativo, encontrar uma função potencial para ele.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes do campo são polinômios em x e y:
    • P(x,y)=2xy^{2}-y^{3} (componente em i);
    • Q(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2 (componente em j).
  • Não foi dada nenhuma restrição de domínio no enunciado, então devemos considerar o domínio natural do campo (onde as componentes estão definidas).

Passo 2

Conceito e critério prático (aula rápida):
  • Um campo de vetores \vec{F}=(P,Q) em duas variáveis é conservativo numa região D se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(P,Q).
  • Um critério simples e muito usado: se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região simplesmente conectada D, então \vec{F} é conservativo em D se, e somente se, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}em toda a região. Esse é o teste do “rotacional zero” em duas dimensões.
  • Observação prática: polinômios têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2, e \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado. Portanto, basta aplicar a igualdade das derivadas cruzadas em todo o plano para concluir que o campo é conservativo em todo \mathbb{R}^2, se a igualdade valer.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando cada passo):
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=2xy^{2}-y^{3}, derivando em relação a y:
    \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) =2x\cdot 2y - 3y^{2} =4xy-3y^{2}.
    (Aqui useu-se a regra do produto: \partial_y(2x\cdot y^2)=2x\cdot 2y, pois x é tratado como constante ao derivar em relação a y.)
  • Agora calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2, derivando em relação a x:
    \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}(2) =2\cdot 2x\cdot y - 3\cdot y^{2} + 0 =4xy-3y^{2}.
    (Novamente aplicação da regra do produto; o termo constante 2 some na derivada.)

Passo 4

Comparação e conclusão sobre conservatividade:
  • Observamos que \frac{\partial P}{\partial y}=4xy-3y^{2}=\frac{\partial Q}{\partial x}para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • As derivadas parciais envolvidas são polinômios (portanto contínuas) e o domínio natural do campo é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conectado.
  • Portanto, pelo critério do passo anterior, o campo \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Método para encontrar a função potencial (passo-a-passo):
  • Procuramos \varphi(x,y) tal que \phi_x = P(x,y)=2xy^{2}-y^{3}, \qquad \phi_y = Q(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2.
  • Integre \phi_x em relação a x tratando y como constante: \varphi(x,y)=\int \bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\,dx.Calcule a integral: \int 2xy^{2}\,dx = 2y^{2}\int x\,dx = 2y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y^{2},
\int (-y^{3})\,dx = -y^{3}\int 1\,dx = -y^{3}x = -x y^{3}.
Então, após integrar em x,
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre funções puramente de y).

Passo 6

Determinar h(y) usando \phi_y=Q:
  • Diferencie a expressão encontrada para \varphi em relação a y: \phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}-x y^{3}+h(y)\bigr) =x^{2}\cdot 2y - x\cdot 3y^{2} + h'(y) =2x^{2}y-3xy^{2}+h'(y).
  • Iguale isso à componente Q(x,y): 2x^{2}y-3xy^{2}+h'(y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2.Subtraindo 2x^{2}y-3xy^{2} dos dois lados obtemos h'(y)=2.
  • Integre h'(y)=2 em relação a y: h(y)=\int 2\,dy=2y+C,onde C é constante real.

Passo 7

Escrever a função potencial final e verificar:
  • Substituindo h(y) em \varphi, obtemos \varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C.
  • Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcule \phi_x e \phi_y: \phi_x=2x y^{2}-y^{3}=P(x,y), \qquad \phi_y=2x^{2}y-3xy^{2}+2=Q(x,y).Logo está tudo consistente.

Resposta

O campo é conservativo em todo \mathbb{R}^{2}.
Uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C, onde C é constante.

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