Um tanque contém, inicialmente, 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de gamma g / l de sal entra no tanque a uma taxa de 21 / min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Encontre uma fórmula, em função de gamma, para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Encontre, também, a quantidade limite de sal no tanque quando t infty.

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de mistura (tanque perfeitamente agitado) em que o volume no tanque é constante, pois entra e sai solução à mesma vazão de 21 L/min. Inicialmente temos 120 L de água pura (sem sal). A mistura que entra tem concentração gamma g/L. Vamos usar um modelo de equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal S(t) no tanque.

Passo 2

Em cada instante t, a variação dfracdSdt é dada por
dSdt = (entrada de sal) - (saída de sal) í
Como a entrada é de vazão 21 L/min com concentração gamma g/L, entra 21,gamma g/min. A saída tem vazão 21 L/min e concentração igual à do tanque l(S(t)/120r) g/L, logo sai tfrac21120S(t) g/min. Assim
dSdt = 21,gamma - 21120,S(t)
Simplificando o coeficiente:
21120 = 740,
fica
dSdt + 740,S = 21,gamma

Passo 3

Para resolver a equação linear
dSdt + 740S = 21gamma,
usamos o fator integrante mu(t)=e^integral(7/40),dt=e^740t. Multiplicando a EDO por mu(t), obtemos
ddtl(e^740tSr)=21gamma,e^740t
Integrando de 0 a t,
e^740tS(t)-e^0S(0) =21gammaintegral0^te^740sds

Passo 4

Como S(0)=0, temos
e^740tS(t) =21gammacdot407l(e^740t-1r) =120,gammal(e^740t-1r)
Isolando S(t),
S(t)=120,gammal(1-e^-740tr)

Passo 5

Para ttoinfty, o termo e^-740t tende a zero, logo
limttoinftyS(t)=120,gamma

Resposta

A quantidade de sal no tanque no instante t é
S(t)=120,gammal(1-e^-tfrac740tr),
e o limite quando ttoinfty é
limttoinftyS(t)=120,gamma

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