Um tanque contém, inicialmente, 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de
de sal entra no tanque a uma taxa de
e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Encontre uma fórmula, em função de
, para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante
. Encontre, também, a quantidade limite de sal no tanque quando
.
Passo 1
O enunciado trata de um modelo de mistura (tanque perfeitamente agitado) em que o volume no tanque é constante, pois entra e sai solução à mesma vazão de
. Inicialmente temos
de água pura (sem sal). A mistura que entra tem concentração
g/L. Vamos usar um modelo de equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal
no tanque.
Passo 2
Em cada instante
, a variação
é dada por
Como a entrada é de vazão
L/min com concentração
g/L, entra
g/min. A saída tem vazão
L/min e concentração igual à do tanque
g/L, logo sai
g/min. Assim
Simplificando o coeficiente:
fica
Passo 3
Para resolver a equação linear
usamos o fator integrante
. Multiplicando a EDO por
, obtemos
Integrando de
a
,
Passo 4
Como
, temos
Isolando
,
Passo 5
Para
, o termo
tende a zero, logo
Resposta
A quantidade de sal no tanque no instante
é
e o limite quando
é