Determine o campo do vetor gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=2^{x} \ln \left(2^{x} y\right).

Passo 1

O enunciado pede o campo do vetor gradiente da função
f(x,y)=2^{x}\,\ln\bigl(2^{x}\,y\bigr).
Isso envolve calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar as ideias, defino
u(x,y)=2^{x} \quad\text{e}\quad v(x,y)=\ln\bigl(2^{x}\,y\bigr),
de modo que
f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y).
Ao derivar em relação a x, uso a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 3

Calculo cada termo em \partial f/\partial x:
  1. \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
  2. Para \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(2^{x}y\bigr), aplico regra da cadeia:
\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{1}{2^{x}y}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2^{x}y\bigr) =\frac{1}{2^{x}y}\bigl(2^{x}\ln 2\,y\bigr) =\ln 2.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =2^{x}\ln 2\;\ln\bigl(2^{x}y\bigr) +2^{x}\;\ln 2 =2^{x}\ln 2\Bigl[\ln\bigl(2^{x}y\bigr)+1\Bigr].

Passo 4

Para \partial f/\partial y, trata-se de derivar
f(x,y)=2^{x}\,\ln\bigl(2^{x}y\bigr)
em relação a y, vendo 2^{x} como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} =2^{x}\,\frac{d}{dy}\ln\bigl(2^{x}y\bigr) =2^{x}\,\frac{1}{2^{x}y}\,\bigl(2^{x}\bigr) =\frac{2^{x}}{y}.

Passo 5

Reunindo as derivadas parciais, o gradiente é
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =\Bigl(\,2^{x}\ln 2\bigl[\ln(2^{x}y)+1\bigr]\,,\,\frac{2^{x}}{y}\Bigr).

Resposta

\nabla f(x,y) =\Bigl(2^{x}\,\ln 2\,\bigl[\ln(2^{x}y)+1\bigr]\,,\;\frac{2^{x}}{y}\Bigr).

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