Determine se os campos vetoriais a seguir são ou não conservativos, em caso afirmativo encontre a função varphi tal que nabla varphi=F.
F(x, y)=(y e^x+sen(y), e^x+x cos (y))

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y)=y,e^x+sen(y), Q(x,y)=e^x + xcos(y),
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial varphi tal que nablavarphi=F. Vamos usar o critério em R^2: se partial P/partial y = partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo, então o campo é conservativo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(y,e^x + sen(y)r) = e^x + cos(y),
partial Qpartial x = partialpartial xl(e^x + xcos(y)r) = e^x + cos(y)
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo em R^2.

Passo 3

Para encontrar varphi(x,y), integramos P em relação a x:
varphi(x,y) = integral l(y,e^x + sen(y)r),dx = y,e^x + x,sen(y) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Devemos impor partialvarphi/partial y = Q. Calculando
partialvarphipartial y = e^x + xcos(y) + h'(y),
e igualando a Q(x,y)=e^x + xcos(y) vem
h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=C, C constante

Passo 5

Logo uma função potencial é
varphi(x,y)=y,e^x + x,sen(y) + C

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
varphi(x,y)=y,e^x + x,sen(y) + C

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