Determine se os campos vetoriais a seguir são ou não conservativos, em caso afirmativo encontre a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e pede para determinar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério em
: se
num domínio simplesmente conexo, então o campo é conservativo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais mistas:
Como
, o campo é conservativo em
.
Passo 3
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Devemos impor
. Calculando
e igualando a
vem
Passo 5
Logo uma função potencial é
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é