Determine uma função varphi tal que F=nabla varphi e use-a para calcular a integral de linha de F sobre a curva gamma dada:
F(x, y)=(x^2, y^2), gamma é o arco de parábola y=x^2 de (-1,2) até (2,8).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgammaFcdot dr,
onde F(x,y)=(x^2,y^2) e gamma é o arco de parábola de (-1,2) até (2,8). Mesmo que a equação y=x^2 não passe por esses pontos, como o campo é conservativo, não precisamos conhecer o caminho, só os extremos. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: se F=nablavarphi, então
integralgammaFcdot dr=varphil(gamma(b)r)-varphil(gamma(a)r)

Passo 2

Verificamos que F é conservativo checando
partialpartial y(x^2)=0 e partialpartial x(y^2)=0,
logo partialyP=partialxQ e F admite potencial escalar global.

Passo 3

Procuramos varphi(x,y) tal que
partialvarphipartial x=x^2, partialvarphipartial y=y^2
Integrando em x:
varphi(x,y)=integral x^2,dx=x^33+h(y)
Derivando em y e igualando a y^2:
h'(y)=y^2Longrightarrow h(y)=y^33
Assim
varphi(x,y)=x^33+y^33

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental:
integralgammaFcdot dr =varphi(2,8)-varphi(-1,2)
Calculamos
varphi(2,8) =2^33+8^33 =8+5123 =5203,
varphi(-1,2) =(-1)^33+2^33 =-1+83 =73
Logo
integralgammaFcdot dr =5203-73 =5133 =171

Resposta

171

Exercícios relacionados