Determine os candidatos a extremantes locais, sendo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os candidatos a extremos locais da função f(x,y)=x³−y²+xy+5. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver o sistema igualando-as a zero para achar os pontos críticos, e depois usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para classificá-los.
Passo 2
As derivadas parciais são
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0. De f_x=0 vem y=−3x²; de f_y=0 vem y=x/2. Igualando ambas as expressões para y: −3x²=x/2. Isso dá:
Logo x=0 ou x=−1/6. Substituindo em y=x/2, obtemos os pontos críticos (0,0) e (−1/6,−1/12).
Passo 4
Formamos o Hessiano H com as segundas derivadas:
O determinante D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2.
Passo 5
Avaliando o Hessiano em cada ponto:
Para (0,0): f_{xx}=0, f_{yy}=-2, f_{xy}=1, logo D=0·(-2)−1=−1<0 ⇒ ponto de sela.
Para (−1/6,−1/12): f_{xx}=6(−1/6)=−1, f_{yy}=-2, f_{xy}=1, logo D=(−1)(−2)−1=1>0 e f_{xx}<0 ⇒ máximo local.
Para (0,0): f_{xx}=0, f_{yy}=-2, f_{xy}=1, logo D=0·(-2)−1=−1<0 ⇒ ponto de sela.
Para (−1/6,−1/12): f_{xx}=6(−1/6)=−1, f_{yy}=-2, f_{xy}=1, logo D=(−1)(−2)−1=1>0 e f_{xx}<0 ⇒ máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0) e (−1/6,−1/12). O ponto (0,0) é de sela e o ponto (−1/6,−1/12) é máximo local.