Determine o ponto do elipsóide x^2+2 y^2+3 z^2=1 cuja soma das coordenadas seja máxima.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar o ponto no elipsóide que faz a soma das coordenadas ser a maior possível. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para encontrar os máximos e mínimos de funções sujeitas a certas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos maximizar e a restrição. Aqui, nossa função objetivo é e a restrição é .

Passo 3

De acordo com os multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas parciais de nabla f = lambda nabla g e 1 = lambda (2x) (1) 1 = lambda (4y) (2) 1 = lambda (6z) (3) multiplicadas por um multiplicador :
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar x = 12lambda , y = 14lambda e z = 16lambda em termos de :
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):

Passo 5

Agora, substituímos (12lambda)^2 + 2(14lambda)^2 + 3(16lambda)^2 = 1 , 14lambda^2 + 2 cdot 116lambda^2 + 3 cdot 136lambda^2 = 1 e 14lambda^2 + 18lambda^2 + 112lambda^2 = 1 na equação da restrição (624 + 324 + 224)1lambda^2 = 1 :
1124lambda^2 = 1 Rightarrow lambda^2 = 1124 Rightarrow lambda = raiz1124 = raiz6612
Simplificando:
Somando os termos:

Passo 6

Agora que temos x = 12lambda = 12 cdot raiz6612 = 6raiz66 = raiz6611 , podemos encontrar y = 14lambda = 14 cdot raiz6612 = 3raiz66 = raiz6622 , z = 16lambda = 16 cdot raiz6612 = 2raiz66 = raiz6633 e :

Resposta

O ponto no elipsóide (raiz6611, raiz6622, raiz6633) onde a soma das coordenadas é máxima é:

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