Determine o ponto do elipsóide
cuja soma das coordenadas seja máxima.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar o ponto no elipsóide
que faz a soma das coordenadas
ser a maior possível. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para encontrar os máximos e mínimos de funções sujeitas a certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos maximizar e a restrição. Aqui, nossa função objetivo é
e a restrição é
.
Passo 3
De acordo com os multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas parciais de
e
multiplicadas por um multiplicador
:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
em termos de
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação da restrição
:
Simplificando:
Somando os termos:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
,
e
:
Resposta
O ponto no elipsóide
onde a soma das coordenadas
é máxima é: