Determine a capacitância de um capacitor cuja reatância é:
100 \Omega em f =100 \mathrm{~Hz};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a capacitância de um capacitor sabendo que sua reatância é 100\\ \Omega quando a frequência é 100\\ \mathrm{Hz}.
Informações dadas:
X_C = 100\\ \Omega e f = 100\\ \mathrm{Hz}.
Objetivo: achar C (em farads, depois converter para unidades práticas).

Passo 2

Entendendo o que é reatância capacitiva: a reatância capacitiva X_C mede a oposição que um capacitor oferece à corrente alternada e depende da frequência e da capacitância. A fórmula padrão que relaciona essas grandezas é
X_C = \frac{1}{2\pi f C},
onde X_C é a reatância em ohms, f é a frequência em hertz e C é a capacitância em farads.
Explicação dos símbolos: 2\pi aparece porque lidamos com frequência angular \omega = 2\pi f; a relação inversa significa que quanto maior a capacitância ou a frequência, menor a reatância.

Passo 3

Isolamos C na fórmula anterior para poder calcular a capacitância a partir de X_C e f. Invertendo a relação:
C = \frac{1}{2\pi f X_C}.
Aqui estamos apenas resolvendo a equação para C.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos dados: f=100\\ \mathrm{Hz} e X_C=100\\ \Omega. Então
C = \frac{1}{2\pi \cdot 100 \cdot 100}.

Passo 5

Agora calculamos o denominador passo a passo. Primeiro calculamos 2\pi:
2\pi \approx 6{,}283185307.
Multiplicando por 100 e por outro 100:
2\pi \cdot 100 \cdot 100 \approx 6{,}283185307 \times 10{.}000 = 62{.}831{,}85307.
Note que 100\cdot100=10{.}000.

Passo 6

Tomamos o inverso para obter C:
C \approx \frac{1}{62{.}831{,}85307} \approx 0{,}0000159154943\\ \mathrm{F}.
Escrevendo em notação mais conveniente:
C \approx 1{,}59154943\times 10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Converter para microfarads ( \mu\mathrm{F}), onde 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}:
C \approx 15{,}9154943\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando para uma quantidade prática de duas casas significativas (adequado para problemas de prova):
C \approx 15{,}9\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 8

Resumo e verificação rápida: como X_C é grande (100 \Omega) e a frequência é relativamente baixa (100 Hz), esperamos uma capacitância não muito pequena (na ordem de dezenas de \mu\mathrm{F}), o que confere com o valor calculado.

Resposta

C \approx 1{,}59\times 10^{-5}\\ \mathrm{F} = 15{,}9\\ \mu\mathrm{F}

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