Distribuição de Maxwell - Boltzmann em sistema realista
Um cilindro metálico hermético contém um gás ideal monoatômico desconhecido. O volume interno do cilindro é 35 L , e as condições internas são: temperatura T=420K e pressão
. O fabricante menciona que o gás é leve e não reativo, mas não especifica qual. Sabe-se apenas que o argônio (Ar), neônio (Ne) e hélio (He) estavam sendo utilizados no laboratório antes da vedação do cilindro.
(a) Assumindo inicialmente que o gás seja Ar, estime o número total de partículas no cilindro usando a distribuição da Maxwell - Boltzmann. Explique todas as hipóteses, conversões e aproximações utilizadas.
(b) Para o mesmo gás, obtenha:
(a) a velocidade mais provável Vp;
(b) o módulo da velocidade média v
(c) a velocidade quadrática média Vrms
Apresente o raciocínio que leva às expressões finais, deixando a substituição numérica apenas para a última etapa.
(c) Agora suponha que o gás fosse Ne em vez de Ar. Sem refazer todos os cálculos, discuta qualitativa e quantitativamente (ordem de grandeza) como vp, v, vrms mudariam ao substituir A–> Ne, justificando sem recorrer a fórmulas prontas.
(d) Selecione um valor limite de velocidade
com vp
, justificando essa escolha fisicamente. Determine a fração de moléculas com
para duas temperaturas: 420 K e outra de sua escolha (com justificativa).
(a) Assumindo inicialmente que o gás seja Ar, estime o número total de partículas no cilindro usando a distribuição da Maxwell - Boltzmann. Explique todas as hipóteses, conversões e aproximações utilizadas.
(b) Para o mesmo gás, obtenha:
(a) a velocidade mais provável Vp;
(b) o módulo da velocidade média v
(c) a velocidade quadrática média Vrms
(c) Agora suponha que o gás fosse Ne em vez de Ar. Sem refazer todos os cálculos, discuta qualitativa e quantitativamente (ordem de grandeza) como vp, v, vrms mudariam ao substituir A–> Ne, justificando sem recorrer a fórmulas prontas.
(d) Selecione um valor limite de velocidade
Passo 1
O enunciado fornece um cilindro metálico hermético com volume interno
e condições de gás: temperatura
e pressão
. Sabe-se que o gás é monoatômico e leve; candidatos plausíveis são He, Ne e Ar, e a primeira parte pede que assumamos que o gás seja argônio (Ar).
Perguntas explícitas:
- (a) Assumindo Ar, estime o número total de partículas no cilindro usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann. Explique hipóteses e conversões.
- (b) Para Ar, obtenha:
(a) velocidade mais provável;
(b) velocidade média;
(c) velocidade quadrática média.
Pedem o raciocínio que leva às expressões finais, deixando a substituição numérica só na última etapa. - (c) Se o gás fosse Ne em vez de Ar: discutir qualitativa e quantitativamente (ordem de grandeza) como
mudariam, justificando sem usar fórmulas prontas. - (d) Escolher um limite de velocidade
tal que , justificar fisicamente a escolha e determinar a fração de moléculas com para e para outra temperatura (escolhida e justificada).
Dados numéricos a converter/usar:
- Volume:
. - Temperatura:
. - Pressão:
.
Constantes úteis que usarei no cálculo final (valores padrão): - Constante de Boltzmann:
. - Constante dos gases:
. - Número de Avogadro:
. - Massa atômica do argônio:
(usarei a conversão ).
Passo 2
(a) Estimativa do número total de partículas
— hipóteses e justificativa:
- Hipótese principal: o gás é ideal e se comporta como gás perfeito sob as condições dadas (pressão e temperatura moderadas). Essa hipótese é compatível com um gás monoatômico inerte em condições próximas de 1–2 atm e algumas centenas de kelvin.
- Observação sobre Maxwell–Boltzmann: a distribuição de Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição de velocidades num gás ideal em equilíbrio térmico. Ela fornece a forma do pdf de velocidades
(usada para velocidades características), mas a contagem total de partículas em um volume é dada pela equação de estado do gás ideal; portanto para estimar usamos a lei dos gases ideais. - Fórmulas aplicadas:
logo - Conversões que vou aplicar (explicando passo a passo):
- Converter
para : , então . - Converter
para pascal: , então .
- Converter
- Portanto usarei
com as conversões acima. (Substituição numérica ficará para o passo numérico.)
Passo 3
(b) Expressões teóricas para velocidades a partir da distribuição de Maxwell–Boltzmann (distribuição de velocidades em 3D):
-
A densidade de probabilidade de velocidades (em módulo
) para partículas livres num gás ideal monoatômico é commassa da partícula (massa de uma átomo de Ar em kg), constante de Boltzmann e a temperatura.
Explicação breve: essa forma vem de combinar a distribuição gaussiana da componente em cada direção (Maxwell para componentes) e transformar para coordenadas esféricas em velocidade; o fator aparece por causa do elemento de volume em coordenadas esféricas (mais velocidades possíveis em valores maiores de ). -
Velocidade mais provável
: - Procedimento:
é o valor de que maximiza . Tomamos derivada e anulamos: - Simplificando, é mais fácil maximizar
. Fazendo isso (pular as etapas algébricas básicas): chega-se a - Interpretação:
é o pico da distribuição; depende de e inversamente da raiz da massa.
- Procedimento:
-
Velocidade média
: - Definição:
- Para fazer a integral, usa-se um resultado padrão de integrais tipo
que se relaciona com a função Gamma. Aplicando a integral ao obtém-se - Observação: o fator
aparece por conta do no e do extra na integranda; a constância da forma gaussianamente ponderada leva a esse coeficiente numérico.
- Definição:
-
Velocidade quadrática média
: - Definição:
- Efetuando a integral (novamente usando integrais com a função Gamma), obtém-se
- Relações úteis entre as velocidades (consequência das expressões acima):
e por isso numericamente costuma ocorrer .
- Definição:
Passo 4
Substituições numéricas finais para o caso Ar (
) — primeiro calculo massa por átomo e número de partículas:
- Converter volume e pressão:
- Massa de um átomo de argônio:
Calculo do número de partículas
usando
:
Agora as velocidades (vou apresentar os valores numéricos finais):
- Velocidade mais provável:
- Velocidade média:
- Velocidade quadrática média:
(Observação numérica: as aproximações foram feitas mantendo 3 algarismos significativos; relações entre os valores confirmam
.)
Passo 5
(c) Efeito da substituição Ar
Ne (argumento qualitativo e cálculo de ordem de grandeza):
- Intuição física sem recorrer a fórmulas prontas: numa distribuição Maxwelliana as energias cinéticas típicas são da ordem de
. Para partículas de maior massa a mesma energia cinética corresponde a velocidades menores, porque . Assim, se a massa diminui, as velocidades típicas aumentam aproximadamente na razão inversa da raiz da massa. - Portanto as velocidades características escalam como
. Logo, ao trocar Ar por Ne (Ne mais leve), espera-se que aumentem aproximadamente por um fator . - Massa de Ne:
- Fator aproximado:
- Conclusão quantitativa de ordem de grandeza: todas as velocidades aumentariam em torno de
. Assim, por exemplo, e valores análogos para e (aproximadamente e ).
Passo 6
(d) Escolha de
e cálculo da fração
para duas temperaturas.
Escolha e justificativa física:
- Quero um limite na cauda direita da distribuição, maior que o pico
mas não absurdamente grande. Uma escolha clara e física é tomar no caso de referência (Ar, ). Isso garante que (porque ) e ainda . - Interpretação física:
é um valor de velocidade bem na cauda da distribuição (muito mais rápido que a velocidade típica), portanto a fração de moléculas acima desse limite será pequena — isso é útil para estimar eventos raros (por exemplo, colisões energéticas, escape, etc.).
Formula geral para a fração de moléculas com
:
- Defina a variável adimensional
- A partir da distribuição de velocidades integra-se
de a . O resultado analítico é onde é a função erro complementar. (Derivação breve: muda-se de variável para e usa-se integrais padrão .)
Cálculo específico (números finais):
-
Primeiro obtenho
numérico para Ar em : já calculei . Assim escolho -
Para
(o caso base), como se faz diretamente: - Calculo
. Se , então as raízes e constantes cancelam e obtém-se - Inserindo em
e avaliando numericamente (usando aproximações padrão para e exponenciais) obtém-se
- Calculo
-
Para a segunda temperatura escolho
(duas vezes a temperatura original). Justificativa: é uma variação significativa, fácil de relacionar (escala linear), e mostra como a cauda se torna mais populada quando a temperatura aumenta. - Agora
e (fixado como acima, ) permanecem os mesmos; portanto - Substituindo
e há uma simples relação: diminui por . Numericamente, para obtém-se - Inserindo em
obtém-se numericamente
- Agora
Interpretação final: ao dobrar a temperatura, mantendo o mesmo limite físico
, a fração de moléculas com velocidade maior que
cresce drasticamente (de menos de 1% para cerca de 10% neste exemplo), mostrando como a cauda da distribuição é muito sensível a
.
Resposta
(a)
(ba)
(bb)
(bc)
(bb)
(bc)
(c) Trocar Ar por Ne aumenta as velocidades em aproximadamente um fator
. Assim, aproximadamente:
(d) Escolhi
. Fração de moléculas com
:
para :
(≈0,74%).
para :
(≈11,1%).
para
para