Determine a capacitância de uma esfera condutora de diâmetro 4 cm que encontra-se totalmente imersa nas águas do oceano Atlântico onde \varepsilon_{r}=81. ( 2,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de diâmetro 4\text{ cm} totalmente imersa na água do mar, cuja permissividade relativa é \varepsilon_{r}=81. Queremos achar a capacitância dessa esfera isolada num meio dielétrico. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da capacitância de uma esfera isolada num dielétrico uniforme, que é
C = 4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_{r}\,R.

Passo 2

Calcular o raio da esfera a partir do diâmetro:
R = \frac{4\text{ cm}}{2} = 2\text{ cm} = 0,02\text{ m}.

Passo 3

Relembrar a permissividade do vácuo e a expressão da capacitância de esfera isolada no dielétrico:
\varepsilon_{0} = 8,854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, \quad C = 4\pi\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}\,R.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula:
C = 4\pi \times \bigl(8,854\times10^{-12}\bigr)\times 81 \times 0,02.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo:
4\pi\,\varepsilon_{0} = 4\pi \times 8,854\times10^{-12} \approx 1,113\times10^{-10}\,\mathrm{F/m},
\varepsilon_{r}\,R = 81 \times 0,02 = 1,62,
C \approx 1,113\times10^{-10}\times1,62 \approx 1,80\times10^{-10}\,\mathrm{F}.

Resposta

A capacitância da esfera é aproximadamente
C \approx 1,80\times10^{-10}\,\mathrm{F}\quad(\text{ou }180\text{ pF}).

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