P 3.2. Determine a característica de cada uma das seguintes matrizes:
em função de
alpha in R .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico de
em função de
alphainR . Para isso vamos usar a definição
e expandir o determinante por cofatores.
Passo 2
Escrevemos
Ealpha-lambda I4 :
Expandindo pela primeira linha,
onde
M1j é o menor correspondente à coluna
j .
Passo 3
Calcular
M11=det 1-lambda & 2 & -1 1 & 2-lambda& alpha 0 & alpha^2 & -lambda .
Usando a fórmula do determinante3times3 , obtemos
Usando a fórmula do determinante
Passo 4
Calcular
M12=det 1 & 2 & -1 0 & 2-lambda& alpha -1& alpha^2 & -lambda .
Análoga aplicação da regra de Sarrus dá
Análoga aplicação da regra de Sarrus dá
Passo 5
Calcular
M13=det 1 & 1-lambda & -1 0 & 1 & alpha -1& 0 & -lambda .
Da mesma forma,
Da mesma forma,
Passo 6
Agora montamos
Substituindo cada
M1j e agrupando termos em potências de
lambda , chegamos a