P 3.2. Determine a característica de cada uma das seguintes matrizes:
Ealpha=[cccc1 & 2 & 4 & 0 1 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 & alpha -1 & 0 & alpha^2 & 0] em função de alpha in R.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de
Ealpha= 1 & 2 & 4 & 0 1 & 1 & 2 & -1 0 & 1 & 2 & alpha -1 & 0 & alpha^2 & 0
em função de alphainR. Para isso vamos usar a definição
p(lambda)=detl(Ealpha-lambda I4r)
e expandir o determinante por cofatores.

Passo 2

Escrevemos Ealpha-lambda I4:
Ealpha-lambda I4 = 1-lambda & 2 & 4 & 0 1 & 1-lambda & 2 & -1 0 & 1 & 2-lambda& alpha -1 & 0 & alpha^2 & -lambda
Expandindo pela primeira linha,
p(lambda) =(1-lambda),M11;-;2,M12;+;4,M13,
onde M1j é o menor correspondente à coluna j.

Passo 3

Calcular M11=det 1-lambda & 2 & -1 1 & 2-lambda& alpha 0 & alpha^2 & -lambda .
Usando a fórmula do determinante 3times3, obtemos
M11 =-lambda^3+3lambda^2+alpha^3lambda-(alpha^3+alpha^2)

Passo 4

Calcular M12=det 1 & 2 & -1 0 & 2-lambda& alpha -1& alpha^2 & -lambda .
Análoga aplicação da regra de Sarrus dá
M12 =lambda^2-lambda-alpha^3-2alpha-2

Passo 5

Calcular M13=det 1 & 1-lambda & -1 0 & 1 & alpha -1& 0 & -lambda .
Da mesma forma,
M13 =alpha(lambda-1)-( lambda+1)

Passo 6

Agora montamos
p(lambda) =(1-lambda),M11;-;2,M12;+;4,M13
Substituindo cada M1j e agrupando termos em potências de lambda, chegamos a
p(lambda) =lambda^4-4lambda^3+(1-alpha^3),lambda^2 +(2alpha^3+alpha^2+4alpha-2),lambda +(alpha^3-alpha^2)

Resposta

boxedp(lambda) =detl(Ealpha-lambda I4r) =lambda^4-4lambda^3+(1-alpha^3)lambda^2 +(2alpha^3+alpha^2+4alpha-2)lambda +(alpha^3-alpha^2)

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