Use o método de Cramer para resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z+t=0 \\\ x+y+z-t=1 \\\ x-z+y+t=-4 \\\\ -y+x+t+z=2\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema
\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x+y+z-t=1,\\\ x+y - z + t=-4,\\\ x - y + z + t=2, \end{cases}
e queremos usar a regra de Cramer para encontrar (x,y,z,t). O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares 4\times4 pelo cálculo de determinantes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}.
Pela regra de Cramer, se \det(A)\neq0 então
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\;y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}, \;z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)},\;t=\frac{\det(A_t)}{\det(A)},
onde A_x,A_y,A_z,A_t surgem de substituir em A a coluna correspondente por \mathbf{b}.

Passo 3

Calculamos \det(A). Subtraindo a primeira linha de todas as demais (operação que não altera o determinante), obtemos a forma
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna,
\det(A) =1\cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix} =1\cdot8 =8.
Como \det(A)=8\neq0, há solução única.

Passo 4

Substituímos a coluna de x por \mathbf{b} para formar A_x e repetimos o mesmo procedimento de linhas. Isso dá \det(A_x)=-4. Logo
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{-4}{8}=-\tfrac12.

Passo 5

Formando A_y (coluna de y trocada por \mathbf{b}) e simplificando, achamos \det(A_y)=-8. Então
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{-8}{8}=-1.

Passo 6

Para A_z (coluna de z trocada por \mathbf{b}) obtemos \det(A_z)=16. Assim
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{16}{8}=2.

Passo 7

Finalmente, em A_t (coluna de t trocada por \mathbf{b}) o determinante sai \det(A_t)=-4. Logo
t=\frac{\det(A_t)}{\det(A)}=\frac{-4}{8}=-\tfrac12.

Resposta

x=-\tfrac12,\quad y=-1,\quad z=2,\quad t=-\tfrac12.

Exercícios relacionados