Use o método de Cramer para resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas de equações lineares:
\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 4 & -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}9 \\\\ 0 \\\\ 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad b = \begin{pmatrix} 9\\\\ 0\\\\ 4 \end{pmatrix}
Vamos usar o método de Cramer, que diz que se \det(A)\neq 0 então o sistema tem única solução dada por
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é a matriz obtida de A trocando a i-ésima coluna por b.

Passo 2

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot(-1)\bigr) -2\bigl(2\cdot1 - 1\cdot4\bigr) +(-3)\bigl(2\cdot(-1)-(-1)\cdot4\bigr)
=1( -1 +1 ) -2(2 -4) -3(-2+4) =0 -2(-2) -3\cdot2 =0 +4 -6 =-2
Como \det(A)=-2\neq 0, o sistema tem solução única.

Passo 3

Formamos
A_{1} = \begin{pmatrix} 9 & 2 & -3\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos \det(A_{1}) por expansão na primeira linha:
\det(A_{1}) =9\bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot(-1)\bigr) -2\bigl(0\cdot1 - 1\cdot4\bigr) +(-3)\bigl(0\cdot(-1) - (-1)\cdot4\bigr)
=9( -1 +1 ) -2(0 -4) -3(0 +4) =0 -2(-4) -3\cdot4 =0 +8 -12 =-4
Logo
x_{1} = \frac{\det(A_{1})}{\det(A)} = \frac{-4}{-2} = 2.

Passo 4

Formamos
A_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 9 & -3\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos \det(A_{2}):
\det(A_{2}) =1\bigl(0\cdot1 - 1\cdot4\bigr) -9\bigl(2\cdot1 - 1\cdot4\bigr) +(-3)\bigl(2\cdot4 - 0\cdot4\bigr)
=1(-4) -9(2 -4) -3(8 -0) =-4 -9(-2) -24 =-4 +18 -24 =-10
Portanto
x_{2} = \frac{\det(A_{2})}{\det(A)} = \frac{-10}{-2} = 5.

Passo 5

Formamos
A_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}
e calculamos \det(A_{3}):
\det(A_{3}) =1\bigl((-1)\cdot4 - 0\cdot(-1)\bigr) -2\bigl(2\cdot4 - 0\cdot4\bigr) +9\bigl(2\cdot(-1) - (-1)\cdot4\bigr)
=1(-4) -2(8) +9(-2 +4) =-4 -16 +9\cdot2 =-4 -16 +18 =-2
Assim
x_{3} = \frac{\det(A_{3})}{\det(A)} = \frac{-2}{-2} = 1.

Resposta

x_{1}=2,\;x_{2}=5,\;x_{3}=1

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