Determine a característica das seguintes matrizes
:
A matriz cujas entradas são todas iguais a 1;
A matriz cujas entradas são todas iguais a 1;
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico da matriz
de ordem
cujas entradas são todas iguais a 1. Definimos
e vamos usar propriedades de traço, posto e cálculo de autovalores para encontrá-lo.
Passo 2
Note que
tem posto 1 (pois todas as linhas são iguais) e traço
Em geral a soma dos autovalores (contados com multiplicidade algébrica) é igual ao traço, e o número de autovalores não nulos não excede o posto. Logo
tem exatamente um autovalor não nulo.
Passo 3
Considere o vetor
Temos
logo
é um autovalor de multiplicidade pelo menos 1. Se
satisfaz
, então todas as entradas de
são somas de componentes de
, que somam zero, logo
. Isso mostra que
é autovalor de multiplicidade
.
Passo 4
Portanto, os autovalores de
são
Isso implica que, sob a convenção
o polinômio característico é