Determine a característica das seguintes matrizes n times n :
A matriz cujas entradas são todas iguais a 1;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da matriz J de ordem n cujas entradas são todas iguais a 1. Definimos
chi(lambda)=detl(lambda In-Jr)
e vamos usar propriedades de traço, posto e cálculo de autovalores para encontrá-lo.

Passo 2

Note que J tem posto 1 (pois todas as linhas são iguais) e traço
tr(J)=1+1+cdots+1=n
Em geral a soma dos autovalores (contados com multiplicidade algébrica) é igual ao traço, e o número de autovalores não nulos não excede o posto. Logo J tem exatamente um autovalor não nulo.

Passo 3

Considere o vetor
Temos
logo é um autovalor de multiplicidade pelo menos 1. Se satisfaz , então todas as entradas de são somas de componentes de , que somam zero, logo . Isso mostra que é autovalor de multiplicidade .

Passo 4

Portanto, os autovalores de J são
lambda1=n(mu<iplicidade 1), lambda2=cdots=lambdan=0(mu<iplicidade n-1)
Isso implica que, sob a convenção
chi(lambda)=detl(lambda In-Jr),
o polinômio característico é
chi(lambda) =(lambda-n),lambda^n-1 =lambda^n-1,(lambda - n)

Resposta

chi(lambda)=detl(lambda In-Jr)=lambda^n-1(lambda - n)

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