Exercício 6. (Folland cap. 7.2 ex. 12) Para a>0, definamos fa: R C e ga: R C por fa(x)=api(x^2+a^2) e ga(x)=sen(a x)pi x. Use a transformada de Fourier para mostrar que
a) fa * fb=fa+b.
b) ga * gb=gmin (a, b).

Passo 1

O enunciado define, para a>0, as funções
fa(x)=api,(x^2+a^2), ga(x)=sin(a x)pi,x,
e pede para mostrar
a) fa*fb=fa+b,
b) ga*gb=gmin(a,b).
Vamos usar a transformada de Fourier com a convenção
widehath(t)=integral-infty^inftyh(x),e^-ixt,dx,
e o teorema da convolução
widehath1*h2(t)=widehath1(t),widehath2(t)

Passo 2

Calculamos widehatfa(t). É um resultado padrão (ou pode-se usar cálculo por resíduos) que
integral-infty^inftyapi,(x^2+a^2),e^-ixt,dx =e^-a|t|
Logo
widehatfa(t)=e^-a|t|

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
widehatfa*fb(t) =widehatfa(t),widehatfb(t) =e^-a|t|,e^-b|t| =e^-(a+b)|t| =widehatfa+b(t)
Invertendo a transformada, obtemos
fa*fb=fa+b,
que é a parte (a).

Passo 4

Agora representamos ga como inversa de um retângulo de largura 2a. De fato
integral-a^ae^ixt,dt =2integral0^acos(xt),dt =2sin(ax)x,
logo
sin(ax)pi,x =12piintegral-a^ae^ixt,dt
é a transformada inversa de
chi[-a,a](t). Assim
widehatga(t)=chi[-a,a](t),
onde chi[-a,a] vale 1 em [-a,a] e 0 fora.

Passo 5

Aplicando o teorema da convolução a ga*gb, temos
widehatga*gb(t) =widehatga(t),widehatgb(t) =chi[-a,a](t),chi[-b,b](t) =chi[-min(a,b),min(a,b)](t)
Invertendo a transformada, isso dá exatamente
gmin(a,b)(x)=sinl(min(a,b),xr)pi,x,
o que prova a parte (b).

Resposta

a) fa*fb=fa+b
b) ga*gb=gmin(a,b)

Exercícios relacionados