Exercício 6. (Folland cap. 7.2 ex. 12) Para
, definamos
e
por
. Use a transformada de Fourier para mostrar que
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado define, para
, as funções
e pede para mostrar
a) ,
b) .
Vamos usar a transformada de Fourier com a convenção
a)
b)
Vamos usar a transformada de Fourier com a convenção
e o teorema da convolução
Passo 2
Calculamos
. É um resultado padrão (ou pode-se usar cálculo por resíduos) que
Logo
Passo 3
Pelo teorema da convolução,
Invertendo a transformada, obtemos
que é a parte (a).
Passo 4
Agora representamos
como inversa de um retângulo de largura
. De fato
logo
é a transformada inversa de
. Assim
onde
vale 1 em
e 0 fora.
Passo 5
Aplicando o teorema da convolução a
, temos
Invertendo a transformada, isso dá exatamente
o que prova a parte (b).
Resposta
a)
b)
b)