Determine a característica das seguintes matrizes n times n :
A matriz “tabuleiro de xadrez”, em que a entrada ai j é zero se i+j é par e 1 se i+j é ímpar.

Passo 1

O enunciado define a matriz
Queremos achar o polinômio característico (\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A)].

Passo 2

Observe que podemos escrever
aij ;=;1 - (-1)^,i+j2
ou seja
A = 12l(J - Br),
onde J = (1)ij é a matriz de uns e B é a matriz de “sinal xadrez”
;Bij=(-1)^,i+j.

Passo 3

Defina os vetores
w = 11vdots1, u = (-1)^1(-1)^2vdots(-1)^n
Então J = w,w^T e B = u,u^T. Qualquer vetor orthogonal a w e a u satisfaz
Jx = 0, Bx = 0 ;implies;Ax = 0
Logo o valor próprio 0 tem multiplicidade (geométrica) pelo menos n-2.)

Passo 4

Fica só analisar a ação de A no subespaço spanw,u. Calcule:
Aw = tfrac12(Jw - Bw) = tfrac12l(n,w - (u,u^T)wr) = tfrac12l(n,w - s,ur),
Au = tfrac12(Ju - Bu) = tfrac12l((w,w^T)u - n,ur) = tfrac12l(s,w - n,ur),
onde
s = u^T w = sumi=1^n(-1)^i = 0, & n par, -1, & n ímpar í

Passo 5

Na base w,u, A restringe-se à matriz
M=12 n & s s & -n
Seus autovalores lambda resolvem
det!l(M - lambda Ir) =det tfrac n2-lambda & tfrac s2[6pt] tfrac s2 & -tfrac n2-lambda =0 ;Longrightarrow; lambda^2=n^2+s^24
Portanto há dois valores próprios
lambda=pmraiz,n^2+s^2,2
e o zero com multiplicidade n-2.]

Resposta

Para n par, s=0 e os autovalores são pmtfrac n2 e 0 (mult. =n-2), logo
chiA(lambda) =lambda^n-2(lambda-tfrac n2)(lambda+tfrac n2)
Para n ímpar, s=-1 e os autovalores são
pmraizn^2+12 e 0 (mult. =n-2), logo
chiA(lambda) =lambda^n-2l(lambda^2-tfracn^2+14r)

Exercícios relacionados