Suponha que g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n})\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n}N{\alpha} \in \mathbb{N}{0}\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}g \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\left(\phi_{n}\right){n \in \mathbb{N}}\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\lim {n \rightarrow \infty} \phi{n}=\varphi\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\lim {n \rightarrow \infty} g \phi{n}=g \varphi\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n})g u(g u)(\varphi)=u(g \varphi)\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n})\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u * \varphi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{C}u * \varphi(x)=u(y \mapsto \varphi(x-y))u * \varphiC{\infty}(\n2))\partial{\alpha}(u * \varphi)=\left(\partial^{\alpha} u\right) * \varphi=u *\left(\partial^{\alpha} \varphi\right)N \in \mathbb{N}{0}\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n}\left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N}C_{\alpha}>0\alphax, y \in \mathbb{N}{0}K \geq 0|y|^{K} \leq(1+|x-y|){K}(1+|x|){K}a\sup {y \in \mathbb{R}{n}}\left|y{\beta} \partial^{\alpha} \varphi(x-y)\right| \leq C{K}(1+|x|)^{|\beta|}ub|(u * \varphi)(x)| \leq C(1+|x|)^{N}\partial^{\alpha} \varphi\varphi\left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N}g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n})\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n}N{\alpha} \in \mathbb{N}{0}\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n})\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n}N{\alpha} \in \mathbb{N}{0}\left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}$.
a) Mostre que , se . Mostre também que se é uma sequência em e é tal que em , então em .
b) Seja . Mostre que definido como para todo também é uma distribuição temperada.’, ‘images’: []}, {‘label’: ‘4’, ‘content’: '4. (Folland cap.9.4 ex.4) Suponha que é uma distribuição temperada e . Vamos definir por . Pode-se mostrar que (não é o objetivo do exercício. Apenas assuma este fato)
é uma função
.
Nosso objetivo é mostrar que existe tal que para todo , temos , em que é uma constante que depende de . Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Mostre que para todo , existe tal que .
b) Usando o item ), mostre que .
c) Conclua, usando a continuidade de e o resultado do item , que .
d) Repita o argumento acima com no lugar de para concluir que .’, ‘images’: []}]}))print(default_api.ContentQuestionGroups(question_groups=[{
Passo 1
O enunciado 3 nos diz que gin C^infty(R^n) satisfaz, para cada multi-índice alpha, um crescimento polinomial
l|partial^alphag(x)r|<= Calpha,(1+|x|)^Nalpha,
Em (a) queremos mostrar que, se phiinS(R^n), então gphiinS(R^n) e que a aplicação phimapsto gphi é contínua em S. Em (b) definimos, para uinS', a distribuição temperada g,u por
(g,u)(phi)=ul(g,phir)
e devemos verificar que essa definição realmente dá uma distribuição temperada.