Suponha que g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n}) çã\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n} N{\alpha} \in \mathbb{N}{0} \left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}g \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) é\left(\phi_{n}\right){n \in \mathbb{N}} éê\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) é\lim {n \rightarrow \infty} \phi{n}=\varphi \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) ã\lim {n \rightarrow \infty} g \phi{n}=g \varphi \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n}) g u (g u)(\varphi)=u(g \varphi) \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})u \in \mathcal{S}{\prime}(\mathbb{R}{n}) éçã\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) u * \varphi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{C} u * \varphi(x)=u(y \mapsto \varphi(x-y))u * \varphi éçãC{\infty}(\n2))\partial{\alpha}(u * \varphi)=\left(\partial^{\alpha} u\right) * \varphi=u *\left(\partial^{\alpha} \varphi\right)N \in \mathbb{N}{0} \alpha \in \mathbb{N}{0}^{n} \left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N} C_{\alpha}>0 é\alphax, y \in \mathbb{N}{0} K \geq 0 |y|^{K} \leq(1+|x-y|){K}(1+|x|){K}a \sup {y \in \mathbb{R}{n}}\left|y{\beta} \partial^{\alpha} \varphi(x-y)\right| \leq C{K}(1+|x|)^{|\beta|}u b |(u * \varphi)(x)| \leq C(1+|x|)^{N}\partial^{\alpha} \varphi \varphi \left|\partial^{\alpha}(u * \varphi)(x)\right| \leq C{\alpha}(1+|x|)^{N}g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n}) çã\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n} N{\alpha} \in \mathbb{N}{0} \left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}g \in C{\infty}(\mathbb{R}{n}) çã\alpha \in \mathbb{N}{0}^{n} N{\alpha} \in \mathbb{N}{0} \left|\partial{x}^{\alpha} g(x)\right| \leq C_{\alpha}(1+|x|)^{N_{\alpha}}$.
a) Mostre que , se . Mostre também que se é uma sequência em e é tal que em , então em .
b) Seja . Mostre que definido como para todo também é uma distribuição temperada.’, ‘images’: []}, {‘label’: ‘4’, ‘content’: '4. (Folland cap.9.4 ex.4) Suponha que é uma distribuição temperada e . Vamos definir por . Pode-se mostrar que (não é o objetivo do exercício. Apenas assuma este fato)
  1. é uma função
  2. .
Nosso objetivo é mostrar que existe tal que para todo , temos , em que é uma constante que depende de . Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Mostre que para todo , existe tal que .
b) Usando o item ), mostre que .
c) Conclua, usando a continuidade de e o resultado do item , que .
d) Repita o argumento acima com no lugar de para concluir que .’, ‘images’: []}]}))print(default_api.ContentQuestionGroups(question_groups=[{

Passo 1

O enunciado 3 nos diz que gin C^infty(R^n) satisfaz, para cada multi-índice alpha, um crescimento polinomial
l|partial^alphag(x)r|<= Calpha,(1+|x|)^Nalpha,
Em (a) queremos mostrar que, se phiinS(R^n), então gphiinS(R^n) e que a aplicação phimapsto gphi é contínua em S. Em (b) definimos, para uinS', a distribuição temperada g,u por
(g,u)(phi)=ul(g,phir)
e devemos verificar que essa definição realmente dá uma distribuição temperada.

Passo 2

Recordando que S(R^n) é equipada pelos seminormes
palpha,beta(phi) =supxinR^nl|x^beta,partial^alphaphi(x)r|!,
tomemos phiinS e consideremos
partial^alpha(gphi).
Pelo lema de Leibniz,
partial^alpha(gphi) =sumgamma<=alpha alphachoosegamma, l(partial^gammagr), l(partial^alpha-gammaphir)
Multiplicando por x^beta e tomando valor absoluto,
l|x^betapartial^alpha(gphi)(x)r| <=sumgamma<=alpha alphachoosegamma, l|partial^gammag(x)r|, l|x^betapartial^alpha-gammaphi(x)r|
Usando o crescimento polinomial de partial^gammag e o fato de phi decair mais rápido que qualquer polinômio, cada termo é majorado por
Cgamma(1+|x|)^Ngamma, l|x^betapartial^alpha-gammaphi(x)r| <= C'alpha,beta supx(1+|x|)^Ngamma-M!,
com M suficientemente grande para que o supremo seja finito. Logo,
supx|x^betapartial^alpha(gphi)(x)|<infty
e gphiinS.

Passo 3

Para a continuidade, note que se phintophi em S então, para cada par (alpha,beta),
palpha,beta(gphin-gphi) <=sumgamma<=alphaCalpha,gamma, supxl|x^betapartial^alpha-gamma(phin-phi)(x)r| =sumgamma<=alphaCalpha,gamma, palpha-gamma,beta(phin-phi),
que tende a zero pois todos os seminormes de phin-phi tendem a zero. Logo phinmapsto gphin é contínua em S.

Passo 4

Definindo g,u por (g,u)(phi)=u(gphi), basta notar que, se phinto0 em S, então gphinto0 em S pelo que acabamos de provar, e portanto
(g,u)(phin)=u(gphin);longrightarrow;0,
pela continuidade de uinS'. Isso mostra que g,u é uma distribuição temperada.

Passo 5

No enunciado 4 temos uinS'(R^n) e phiinS(R^n). Define-se a convolução por
(u*phi)(x)=ul(ymapstophi(x-y)r),
sabendo-se que u*phi é C^infty e
partial^alpha(u*phi)=u*(partial^alphaphi). Queremos provar que há N tal que para todo multi-índice alpha,
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|<= Calpha,(1+|x|)^N
O enunciado sugere quatro passos.

Passo 6

Provar que, para todo x,yinR^n e inteiro K>=0,
|y|^K<=(1+|x-y|)^K,(1+|x|)^K
Isso vem de
|y|<=|x-y|+|x|<=(1+|x-y|)(1+|x|)
e elevando ambos os lados a K.

Passo 7

Com isso, para cada alpha,beta temos
supyinR^nl|y^betapartial^alphaphi(x-y)r| <=supzl|(x-z)^betapartial^alphaphi(z)r| <=(1+|x|)^|beta|, supz(1+|z|)^|beta|l|partial^alphaphi(z)r| = CK,(1+|x|)^|beta|

Passo 8

Como u é contínuo em S, existe um conjunto finito de seminormes palpha,beta e constante C tais que, para toda psiinS,
|u(psi)|<= Csum palpha,beta(psi)
Tomando psi(y)=phi(x-y), obtemos
|(u*phi)(x)|=|u(psi)| <= Csumalpha,beta supyl|y^betapartial^alphaphi(x-y)r| <= C',(1+|x|)^N
para N=max|beta|.

Passo 9

Substituindo phi por partial^alphaphi no argumento acima, concluímos que
l|partial^alpha(u*phi)(x)r| <= Calpha,(1+|x|)^N

Resposta

Para todo multi-índice alpha existe N tal que
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|<= Calpha,(1+|x|)^N,
ou seja, u*phi e todas as suas derivadas crescem, no máximo, polinomialmente.

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