Exercício 2. (Folland cap.9.4 ex.1) Seja u in S^prime(R^n) uma distribuição temperada homogênea de grau a, ou seja, u(phi(lambda x))=1lambda^n+a u(phi(x)). Mostre que F(u) é uma distribuição homogênea de grau -n-a.

Passo 1

O enunciado afirma que uinS'(R^n) é temperada e homogênea de grau a, isto é, para toda função teste phiinS(R^n) e todo lambda>0 vale
ul(phi(lambda x)r) =1lambda^n+a;ul(phi(x)r)
Queremos mostrar que a transformada de Fourier F(u) também é homogênea, e que seu grau de homogeneidade é -n-a. Lembremos que, por definição,
F(u)(phi) = ul(F(phi)r),
onde F(phi)(xi)=integralR^ne^-i xcdotxi,phi(x),dx.

Passo 2

Calculemos primeiro a transformada de Fourier de phi(lambda x).
Fl(phi(lambdacdot)r)(xi) =integralR^ne^-i xcdotxi,phi(lambda x),dx
Fazendo a mudança de variável y=lambda x, de modo que dx=lambda^-ndy, obtemos
Fl(phi(lambdacdot)r)(xi) =lambda^-nintegralR^ne^-i,(y/lambda)cdotxi,phi(y),dy =lambda^-n,l(Fphir)!l(tfracxilambdar)
Em notação de argumento x, isso equivale a
Fl(phi(lambdacdot)r)(x) =lambda^-n,l(Fphir)!l(tfracxlambdar)

Passo 3

Agora aplicamos a definição de transformada no lado das distribuições:
F(u)l(phi(lambdacdot)r) = u!l(,F(phi(lambdacdot))r) = u!l(xmapstolambda^-n,(Fphi)(tfracxlambda)r)

Passo 4

O fator constante lambda^-n sai da aplicação de u, pois u é linear:
F(u)l(phi(lambdacdot)r) =lambda^-n;u!l(xmapsto(Fphi)(tfracxlambda)r)

Passo 5

Para usar a homogeneidade de u, note que a função xmapsto(Fphi)(x/lambda) é exatamente l(Fphir)(lambda^-1x). Então, pela hipótese de homogeneidade de grau a aplicada com mu=lambda^-1, temos
u!l((Fphi)(tfracxlambda)r) = ul(l(Fphir)(lambda^-1x)r) =l(lambda^-1r)^-,n - a;ul(Fphir) =lambda^,n+a;F(u)(phi)

Passo 6

Combinando os fatores de lambda obtidos nos passos 4 e 5, concluímos
F(u)l(phi(lambdacdot)r) =lambda^-n;l(lambda^,n+a,F(u)(phi)r) =lambda^,a;F(u)(phi)
Por outro lado, dizer que F(u) é homogênea de grau b significa
F(u)l(phi(lambdacdot)r) =1lambda^,n+b;F(u)(phi)
Comparando com lambda^a, vemos que
lambda^a=1lambda^,n+b Longrightarrow -n-b = a Longrightarrow b = -n - a

Resposta

Portanto, F(u) é uma distribuição homogênea de grau -n - a.

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