Exercício 2. (Folland cap.9.4 ex.1) Seja
uma distribuição temperada homogênea de grau
, ou seja,
. Mostre que
é uma distribuição homogênea de grau
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é temperada e homogênea de grau
, isto é, para toda função teste
e todo
vale
Queremos mostrar que a transformada de Fourier
também é homogênea, e que seu grau de homogeneidade é
. Lembremos que, por definição,
onde
.
Passo 2
Calculemos primeiro a transformada de Fourier de
.
Fazendo a mudança de variável
, de modo que
, obtemos
Em notação de argumento
, isso equivale a
Passo 3
Agora aplicamos a definição de transformada no lado das distribuições:
Passo 4
O fator constante
sai da aplicação de
, pois
é linear:
Passo 5
Para usar a homogeneidade de
, note que a função
é exatamente
. Então, pela hipótese de homogeneidade de grau
aplicada com
, temos
Passo 6
Combinando os fatores de
obtidos nos passos 4 e 5, concluímos
Por outro lado, dizer que
é homogênea de grau
significa
Comparando com
, vemos que
Resposta
Portanto,
é uma distribuição homogênea de grau
.