Exercício 1. (D.K. ex. 14.4) Usando integração por partes, mostre que
(Dj phi, psi)L^2(R)=(phi, Dj psi)L^2(R), forall phi, psi in S(R)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador de momento
(Djphi)(x) = -i,partialxjphi(x)
é simétrico em L^2(R), isto é,
l(Djphi,psir)L^2(R) =l(phi,Djpsir)L^2(R) forall,phi,psiinS(R)
Para isso vamos usar integração por partes e o fato de que funções de Schwartz decaem rapidamente no infinito.

Passo 2

Escrevemos o produto interno e extraímos o fator -i:
l(Djphi,psir) =integralRl(-i,partialxjphi(x)r),psi(x),dx =-iintegralRpartialxjphi(x),psi(x),dx
Aplicando integração por partes ao integrando
integralRpartialxjphi,psi,dx =l[phi(x),psi(x)r]xj=-infty^+infty -integralRphi(x),partialxjpsi(x),dx

Passo 3

Como phi,psiinS(R), todas as suas derivadas tendem a zero mais rápido que qualquer potência quando lvert xrverttoinfty. Logo
l[phi(x),psi(x)r]xj=-infty^+infty=0
Assim
-iintegralRpartialxjphi,psi,dx =iintegralRphi(x),partialxjpsi(x),dx

Passo 4

Usando partialxjpsi=partialxjpsi e reagrupando o fator i em -i,partialxjpsi, obtemos
iintegralRphi(x),partialxjpsi(x),dx =integralRphi(x),l(-i,partialxjpsi(x)r),dx =l(phi,Djpsir)L^2(R)
Portanto
l(Djphi,psir)L^2(R) =l(phi,Djpsir)L^2(R)

Resposta

l(Djphi,psir)L^2(R) =l(phi,Djpsir)L^2(R) forall,phi,psiinS(R)

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