Exercício 1. (D.K. ex. 14.4) Usando integração por partes, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador de momento
é simétrico em
, isto é,
Para isso vamos usar integração por partes e o fato de que funções de Schwartz decaem rapidamente no infinito.
Passo 2
Escrevemos o produto interno e extraímos o fator
:
Aplicando integração por partes ao integrando
Passo 3
Como
phi,psiinS(R) , todas as suas derivadas tendem a zero mais rápido que qualquer potência quando
lvert xrverttoinfty . Logo
Assim
Passo 4
Usando
partialxjpsi=partialxjpsi e reagrupando o fator
i em
-i,partialxjpsi , obtemos
Portanto