A matriz abaixo é inversível. Obtenha, por escalonamento, somente a segunda coluna de sua inversa.
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede: obter, por escalonamento, somente a segunda coluna de A^{-1}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{Dado: }A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\text{Pedido: a segunda coluna de }A^{-1}.]

Passo 2

Explicação didática do método que vamos usar (sem ainda calcular): se escrevermos
A^{-1}=\begin{pmatrix}c_1 & c_2 & c_3\end{pmatrix},
então a igualdade A A^{-1}=I implica que
A c_2 = e_2,
onde e_2 é o vetor canônico coluna \;e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.\n
Ou seja, a segunda coluna de A^{-1} é exatamente a solução x do sistema linear
A x = e_2.
Portanto, para obter a segunda coluna de A^{-1} basta resolver o sistema A x=e_2 por escalonamento (eliminação gaussiana). Lembre: operações permitidas em linhas são trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a múltiplos de uma linha a outra — essas operações preservam as soluções do sistema.]

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\mid e_2]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Vamos escalonar passo a passo, explicando cada operação.
  1. Eliminar o termo 1 em posição (3,1) usando a linha 1: fazemos R_3\leftarrow R_3-R_1. Isso zera a primeira coluna da linha 3.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right]
  1. Agora queremos eliminar o -1 em (3,2) usando a linha 2 (que tem pivô 1 na coluna 2). Fazemos R_3\leftarrow R_3+R_2.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right]
Comentário: agora a linha 3 tem apenas entrada não nula na coluna 3, ótima para obter o pivô dessa coluna.
  1. Normalizar o pivô da linha 3: dividimos R_3 por 2 para obter 1 na posição (3,3): R_3\leftarrow\frac{1}{2}R_3.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]
  1. Eliminar acima do pivô da coluna 3: zeramos a entrada (2,3) usando R_2\leftarrow R_2-2R_3. Calculamos o novo termo independente: 1-2\cdot\tfrac{1}{2}=1-1=0.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]
  1. Eliminar a entrada (1,3) usando R_1\leftarrow R_1-R_3. O termo independente da linha 1 passa a ser 0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]
  1. Por fim, zeramos a entrada (1,2) usando R_1\leftarrow R_1-2R_2. Como o lado direito de R_2 é 0, o lado direito de R_1 permanece -\tfrac{1}{2}.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right]
Agora a matriz à esquerda é a identidade e a coluna aumentada é a solução x.]

Passo 5

Lemos a solução do sistema A x=e_2 na coluna aumentada: \;x=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.\n
Conclusão: essa é a segunda coluna de A^{-1}.
(Opcional de verificação rápida: multiplicando A por esse vetor obtemos
A\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot(-\tfrac{1}{2})+2\cdot 0 +1\cdot\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\cdot(-\tfrac{1}{2})+1\cdot 0 +2\cdot\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\cdot(-\tfrac{1}{2})+1\cdot 0 +1\cdot\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}=e_2,
confirmando que está correto.)]

Resposta

\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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